Coding的痕迹

一位互联网奔跑者的网上日记

0%

高等数学2 函数

xx, yy 为两个变量 (xD)(x \in D). 对任意的 xDx \in D,总存在唯一确定的 yyxx 对应,称 yyxx 的函数,记作 y=f(x)y = f(x).

函数在 DDx0x_0 对应的 f(x0)f(x_0) 称为函数在 x0x_0 的值,有时记为 fx0f|_{x_0}

常见的函数

符号函数

y=sgn x={1,x<00,x=01,x>0y = sgn\ x = \left\{ \begin{aligned} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x > 0 \end{aligned} \right.

狄利克雷(Dirichlet)函数

y=D(x)={1,xQ0,xRQy = D(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in R | Q \\ \end{aligned} \right.

取整函数(左取整)

y=[x]y = [x]

[2]=1[2] = 1, [0.3]=1[-0.3] = -1, [3]=3[3] = 3

  1. [x]x[x] \leq x
  2. $[x + y] \neq [x] + [y] $ (通常)
  3. kZk \in Z[x+k]=[x]+k[x + k] = [x] + k

初等函数

基本初等函数

《高等数学》中的基本初等函数有 6 种。

  1. 幂函数 xax ^ a
  2. 指数函数 axa ^ x
  3. 对数函数 logax\log_a xa>0a > 0a1a \neq 1
  4. 三角函数 sinx\sin xcosx\cos xtanx\tan xcotx\cot xsecx\sec xcscx\csc x
  5. 反三角函数 arcsinx\arcsin xarccosx\arccos xarctanx\arctan xarcot x\text{arcot}\ x
  6. 常函数 f(x)=Cf(x) = C

初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和(或)复合运算而成的式子。

双曲函数

双曲正弦 shx=exex2\text{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

双曲余弦 chx=ex+ex2\text{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

双曲正切 thx=exexex+ex\text{th} x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

隐函数

方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 确定的函数

例1:$x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow $

  • 在 $y \geq 0 $ 确定 y=9x2y = \sqrt{9 - x^2}
  • 在 $y \leq 0 $ 确定 y=9x2y = -\sqrt{9 - x^2}

注意,不能写成 y=±9x2y = \pm\sqrt{9-x^2},因为这个表达式意味着对于任意 xx 的值,存在两个 yy 的值。

例22xy=2arctan(yx)2x - y = 2\arctan (y - x) 虽然不能得出表达式,但是通过作图同样可以确定函数 y=f(x)y = f(x)

参数方程表示的函数

极坐标表示的函数

  1. 例: r=acosθr = a \cos \theta
  2. 例: r=a(1cosθ)r = a(1 - \cos \theta)
  3. 例: r2=a2cos2θr^2 = a^2 \cos 2\theta

根据周期性、对称性,再按点描出图形。

性质

奇偶性

例:f(x)=2x12x+1f(x) = \frac{2^x - 1}{2 ^ x + 1}

单调性

有界性

周期性

周期函数一定有最小正周期吗?

不是。如常函数、前文提到的狄利克雷函数

函数的运算

加减乘除

f+gf + gfgf - gfgf \cdot gf/gf / g

复合

fgf \circ g(fg)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))

例1f(x)={1,x10,x>1f(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, & x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \\ \end{aligned} \right.,求 f(f(x))f(f(x))

ANS: f(f(x))=1f(f(x)) = 1

例2f(x)={2x,0x1x2,1<x2f(x) = \left\{ \begin{aligned} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2, & 1 < x \leq 2 \\ \end{aligned} \right.g(x)=lnxg(x) = \ln x,求 f(g(x))f(g(x))g(f(x))g(f(x))

例3:求 f(x)f(x)

  1. f(x+1x)=x2+1x2f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}
  2. f(x+1x2)=2x1f(\frac{x+1}{x-2})=2x - 1

拼凑法、反解法

反函数

单射:设 函数 f:XYf: X \rightarrow Y,若 x1,x2X,x1x2f(x1)f(x2)x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2),则称 ff单射的。即,不同的自变量导致不同的函数值(严格单调)。

满射:若 R(f)=YR(f) = Y,则称 ff 为满射的。

双射:若 ff 既是单射,又是满射的,则称 ff 是双射的。

单射函数 f(x)f(x) 在其值域上可定义反函数 y=f(x),xXx=f1(y),yR(f)y = f(x), x \in X \Leftrightarrow x = f^{-1}(y), y \in R(f),次数图形与原函数重合。当反函数表示为 y=f1(x),yR(f)y = f^{-1}(x), y \in R(f),图形与原函数图形关于直线 y=xy = x 对称。

例:求 y=ln(x+1+x2)y = \ln (x + \sqrt{1+x^2}) 的反函数

ANS: x=eyey2x = \frac{e^y - e^{-y}}2