高等数学2 函数

$x$, $y$ 为两个变量 $(x \in D)$. 对任意的 $x \in D$，总存在唯一确定的 $y$ 与 $x$ 对应，称 $y$ 为 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$.

函数在 $D$ 上 $x_0$ 对应的 $f(x_0)$ 称为函数在 $x_0$ 的值，有时记为 $f|_{x_0}$。

常见的函数

符号函数

$y = sgn\ x = \left\{ \begin{aligned} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x > 0 \end{aligned} \right.$

狄利克雷（Dirichlet）函数

$y = D(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in R | Q \\ \end{aligned} \right.$

取整函数（左取整）

$y = [x]$

如 $[2] = 1$, $[-0.3] = -1$, $[3] = 3$

1. $[x] \leq x$
2. $[x + y] \neq [x] + [y] $ （通常）
3. 若 $k \in Z$ ， $[x + k] = [x] + k$

初等函数

基本初等函数

《高等数学》中的基本初等函数有 6 种。

1. 幂函数 $x ^ a$
2. 指数函数 $a ^ x$
3. 对数函数 $\log_a x$ （$a > 0$ 且 $a \neq 1$）
4. 三角函数 $\sin x$， $\cos x$，$\tan x$，$\cot x$，$\sec x$，$\csc x$
5. 反三角函数 $\arcsin x$，$\arccos x$，$\arctan x$，$\text{arcot}\ x$
6. 常函数 $f(x) = C$

初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和（或）复合运算而成的式子。

双曲函数

双曲正弦 $\text{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

双曲余弦 $\text{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

双曲正切 $\text{th} x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

隐函数

方程 $F(x, y) = 0$ 确定的函数

例1：$x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow $

• 在 $y \geq 0 $ 确定 $y = \sqrt{9 - x^2}$
• 在 $y \leq 0 $ 确定 $y = -\sqrt{9 - x^2}$

注意，不能写成 $y = \pm\sqrt{9-x^2}$，因为这个表达式意味着对于任意 $x$ 的值，存在两个 $y$ 的值。

例2：$2x - y = 2\arctan (y - x)$ 虽然不能得出表达式，但是通过作图同样可以确定函数 $y = f(x)$。

参数方程表示的函数

极坐标表示的函数

1. 例： $r = a \cos \theta$
2. 例： $r = a(1 - \cos \theta)$
3. 例： $r^2 = a^2 \cos 2\theta$

根据周期性、对称性，再按点描出图形。

性质

奇偶性

例：$f(x) = \frac{2^x - 1}{2 ^ x + 1}$

单调性

有界性

周期性

周期函数一定有最小正周期吗？

不是。如常函数、前文提到的狄利克雷函数。

函数的运算

加减乘除

$f + g$，$f - g$，$f \cdot g$，$f / g$

复合

$f \circ g$ ： $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

例1：$f(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, & x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \\ \end{aligned} \right.$，求 $f(f(x))$

ANS: $f(f(x)) = 1$

例2：$f(x) = \left\{ \begin{aligned} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2, & 1 < x \leq 2 \\ \end{aligned} \right.$，$g(x) = \ln x$，求 $f(g(x))$， $g(f(x))$

例3：求 $f(x)$。

1. $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
2. $f(\frac{x+1}{x-2})=2x - 1$

拼凑法、反解法

反函数

单射：设 函数 $f: X \rightarrow Y$，若 $x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$，则称 $f$ 为单射的。即，不同的自变量导致不同的函数值（严格单调）。

满射：若 $R(f) = Y$，则称 $f$ 为满射的。

双射：若 $f$ 既是单射，又是满射的，则称 $f$ 是双射的。

单射函数 $f(x)$ 在其值域上可定义反函数 $y = f(x), x \in X \Leftrightarrow x = f^{-1}(y), y \in R(f)$，次数图形与原函数重合。当反函数表示为 $y = f^{-1}(x), y \in R(f)$，图形与原函数图形关于直线 $y = x$ 对称。

例：求 $y = \ln (x + \sqrt{1+x^2})$ 的反函数

ANS: $x = \frac{e^y - e^{-y}}2$