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高等数学1 预备知识

本篇主要是高中知识的复习与补充。大部分内容来源于乐经良教授主讲《高等数学》的“实数集”一课,此外也收录了笔者在后续课程中发现自身的缺失之处,以及常用的高中知识点。

集合

具有某种属性的事物的全体称为集合。元素用小写字母(如 aa)表示,集合用大写字母(如 AA)表示。 aaAA 的元素: aAa \in Aaa 不是 AA 的元素: aAa \notin A

集合具有确定性、互异性、无序性。

表示方法

  1. 列举法
  2. 描述法 A={x使xA}A = \{x | 使 x 属于 A 的属性\}

运算

  1. 并(和): ABA \cup BA+BA+B
  2. 交(积): ABA \cap BABAB
  3. 差: ABA \setminus B

实数集

实数集 RR : 有理数集(QQ) + 无理数集

有理数集的特性:

  1. 有序性

  2. 对加减乘除运算的封闭性(构成数域)

  3. 稠密性

    因为任何两个有理数之间至少还有一个有理数 \rightarrow 有无数多个有理数

实数集还具备完备性(或连续性),在极限运算下依然是封闭的。

区间

一般区间用大写字母 II 表示。

有界区间

a<ba < b,那么:

  • 开区间 (a,b)={xa<x<b,xR}(a, b) = \{x | a < x < b, x \in R\}
  • 闭区间 [a,b]={xaxb,xR}[a, b] = \{x | a \leq x \leq b, x \in R\}
  • 半开半闭区间

无界区间

形如 (,b)={x<b,xR}(-\infty, b) = \{x < b, x \in R\}(,+)=R(-\infty, +\infty) = R

邻域

aRa \in Rδ>0\delta > 0,则

  • aaδ\delta 邻域:U(a,δ)=(aδ,a+δ)U(a, \delta) = (a - \delta, a + \delta)
  • aa 的去心 δ\delta 邻域:U˚(a,δ)=(aδ,a)(a,a+δ)\mathring{U}(a, \delta) = (a - \delta, a) \cup (a, a + \delta)

一些符号

符号 符号
\forall 任意 \Rightarrow 蕴含,必要条件
\exists 存在 \Leftarrow 源于,充分条件
\exists \vert 存在且唯一 \Leftrightarrow 等价
maxE\max E E 中的最大者 minE\min E E 中的最小者

不等式

基本不等式

a+b2ab\displaystyle \frac {a+b} 2 \geq \sqrt {ab}

表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

“一正”“二定”“三相等”:“一正”就是指两个式子都为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指当且仅当两个式子相等时,才能取等号。

算术几何不等式AGA-G 不等式),基本不等式的更通用情况

x1,x2,,xnx_1, x_2, \dots,x_n 均非负数, x1+x2++xnnx1+x2++xnn\displaystyle\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 + x_2 + \dots + x_n}

变形

  1. a+b2aba + b \geq 2\sqrt{ab} (当且仅当 a=ba = b 时取等号)
  2. ba+ab2\displaystyle\frac b a + \frac a b \geq 2aabb 同号)
  3. ab(a+b2)2\displaystyle ab \leq (\frac {a+b} 2)^2a,bRa, b \in R
  4. (a+b2)2a2+b22\displaystyle (\frac {a+b} 2)^2 \leq \frac {a^2 + b^2} 2a,bRa, b \in R

二元均值不等式

21a+1baba+b2a2+b22\displaystyle \frac 2 {\frac 1 a + \frac 1 b} \leq \sqrt {ab} \leq \frac {a+b} 2 \leq \sqrt {\frac {a^2 + b^2} 2}

调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值,当且仅当 a=ba=b 时等号成立

柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2(a,b,c,dR)(a,b,c,d \in R)

(a12+a22++an2)(b12+b22++bn2)(a1b1+a2b2++anbn)2(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2

绝对值不等式

aba±ba+b\displaystyle\big||a|-|b|\big| ≤|a\pm b|≤|a|+|b|

  • 当且仅当 ab0ab \leq 0 时左边等号成立,ab0ab \geq 0 时右边等号成立。
  • a|a| 表示数轴上的点 aa 与原点的距离叫做数 aa 的绝对值。几何意义是:当 aabb 同号时它们位于原点的同一边,此时 aab-b 的距离等于它们到原点的距离之和。当 aabb 异号时它们分别位于原点的两边,此时 aab-b 的距离小于它们到原点的距离之和。(ab|a-b| 表示 aba-b 与原点的距离,也表示 aabb 之间的距离)

其他

  1. 三角不等式

    x±yx+y|x \pm y| \leq |x| + |y|, xyxy|x - y| \geq \big||x| - |y|\big|

  2. 伯努利(Bernoulli)不等式

    x0x \geq 0,且 nn 为正整数,则 (1+x)n1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx

    例:证明 $\displaystyle\sqrt[n]{a} - 1 \leq \frac{a-1}{n} $ (a>1a>1

    证明

    t=an1>0t = \sqrt[n]{a} - 1 > 0
    1+t=an1 + t = \sqrt[n]{a}
    a=(1+t)n1+nta = (1 + t)^n \geq 1 + nt

三角函数

这里主要补充三个高中没有学过的三角函数:余切、正割、余割。

  • 余切函数 y=cotxy = \cot x
  • 正割函数 y=secxy = \sec x
  • 余割函数 y=cscxy = \csc x

诱导公式

诱导公式是指三角函数中,利用周期性将角度比较大的三角函数,转换为角度比较小的三角函数的公式,共有六组。

  • 公式一 终边相同的角的同一三角函数值相等

    sin(2kπ+α)=sinα(kZ)\sin (2k\pi + \alpha) = \sin \alpha (k \in Z)

    \cdots

  • 公式二 π+α\pi + \alpha 的三角函数值与 α\alpha 的三角函数值之间的关系

    • sin(π+α)=sinα\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha
    • cos(π+α)=cosα\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha
    • tan(π+α)=tanα\tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha
    • cot(π+α)=cotα\cot(\pi+\alpha) = \cot \alpha
    • sec(π+α)=secα\sec(\pi+\alpha) = -\sec \alpha
    • csc(π+α)=cscα\csc(\pi+\alpha) = -\csc\alpha
  • 公式三 任意角 α\alphaα-\alpha 的三角函数值之间的关系(根据函数奇偶性判断)

    • sin(α)=sinα\sin(-\alpha) = -\sin\alpha
    • cos(α)=cosα\cos(-\alpha) = \cos\alpha
    • tan(α)=tanα\tan(-\alpha) = -\tan\alpha
    • cot(α)=cotα\cot(-\alpha) = -\cot\alpha
    • sec(α)=secα\sec(-\alpha) = \sec\alpha
    • csc(α)=cscα\csc(-\alpha) = -\csc \alpha
  • 公式四 利用公式二公式三可以得到 πα\pi-\alphaα\alpha 的三角函数值之间的关系

    • sin(πα)=sinα\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha
    • cos(πα)=cosα\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha
    • tan(πα)=tanα\tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha
    • cot(πα)=cotα\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha
    • sec(πα)=secα\sec(\pi-\alpha) = -\sec\alpha
    • csc(πα)=cscα\csc(\pi-\alpha) = \csc\alpha
  • 公式五 利用公式一和公式三可以得到 2πα2\pi-\alphaα\alpha 的三角函数值之间的关系

    • sin(2πα)=sinα\sin(2\pi-\alpha) = -\sin\alpha
    • cos(2πα)=cosα\cos(2\pi-\alpha) = \cos\alpha
    • tan(2πα)=tanα\tan(2\pi-\alpha) = -\tan\alpha
    • cot(2πα)=cotα\cot(2\pi-\alpha) = -\cot\alpha
    • sec(2πα)=secα\sec(2\pi-\alpha) = \sec\alpha
    • csc(2πα)=cscα\csc(2\pi-\alpha) = -\csc\alpha
  • 公式六 π2±α\displaystyle \frac \pi 2 \pm \alphaα\alpha3π2±α\displaystyle\frac {3\pi} 2 \pm \alphaα\alpha 的三角函数值之间的关系

    1. π2+α\displaystyle\frac \pi 2 + \alphaα\alpha 的三角函数值间关系
    • sin(π2+α)=cosα\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos\alpha
    • cos(π2+α)=sinα\cos(\frac \pi 2 + \alpha) = -\sin\alpha
    • tan(π2+α)=cotα\tan(\frac \pi 2 + \alpha) = -\cot\alpha
    • cot(π2+α)=tanα\cot(\frac \pi 2 + \alpha) = -\tan\alpha
    • sec(π2+α)=cscα\sec(\frac \pi 2 + \alpha) = -\csc\alpha
    • csc(π2+α)=secα\csc(\frac \pi 2 + \alpha) = \sec\alpha
    1. π2α\displaystyle\frac \pi 2 - \alphaα\alpha 的三角函数值间关系
    • sin(π2α)=cosα\sin(\frac \pi 2 - \alpha) = \cos\alpha
    • cos(π2α)=sinα\cos(\frac \pi 2 - \alpha) = \sin\alpha
    • tan(π2α)=cotα\tan(\frac \pi 2 - \alpha) = \cot\alpha
    • cot(π2α)=tanα\cot(\frac \pi 2 - \alpha) = \tan\alpha
    • sec(π2α)=cscα\sec(\frac \pi 2 - \alpha) = \csc\alpha
    • csc(π2α)=secα\csc(\frac \pi 2 - \alpha) = \sec\alpha
    1. 3π2+α\displaystyle\frac {3\pi} 2 + \alphaα\alpha 的三角函数值间关系
    • sin(3π2+α)=cosα\sin(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\cos\alpha
    • cos(3π2+α)=sinα\cos(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = \sin\alpha
    • tan(3π2+α)=cotα\tan(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\cot\alpha
    • cot(3π2+α)=tanα\cot(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\tan\alpha
    • sec(3π2+α)=cscα\sec(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = \csc\alpha
    • csc(3π2+α)=secα\csc(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\sec\alpha
    1. 3π2α\displaystyle\frac {3\pi} 2 - \alphaα\alpha 的三角函数值间关系
    • sin(3π2α)=cosα\sin(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\cos\alpha
    • cos(3π2α)=sinα\cos(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\sin\alpha
    • tan(3π2α)=cotα\tan(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = \cot\alpha
    • cot(3π2α)=tanα\cot(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = \tan\alpha
    • sec(3π2α)=cscα\sec(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\csc\alpha
    • csc(3π2α)=secα\csc(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\sec\alpha

这些诱导公式可以概括为:对于kπ2±α (kZ)\displaystyle \frac{k\pi}2 \pm \alpha \ (k\in Z) 的三角函数值,

  • kk 是偶数时,得到 α\alpha 的同名函数值,即函数名不改变

  • kk 是奇数时,得到 α\alpha 相应的余函数值,即 sincos\sin \rightarrow \cos, cossin\cos\rightarrow \sin; tancot\tan\rightarrow \cot, cottan\cot\rightarrow \tan。(奇变偶不变)然后在前面加上把 α\alpha 看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)

辅助角公式

asinx+bcosx=a2+b2sin(x+arctanba)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(x + \arctan\frac b a\right), (a>0)(a > 0)

asinx+bcosx=a2+b2cos(xarctanba)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \cos\left(x - \arctan\frac b a\right), $ (b > 0)$

两角和与差

  • cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta
  • cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta
  • sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
  • sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta
  • tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ\displaystyle\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}
  • tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\displaystyle\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}

和差化积

  • sinα+sinβ=2sin(α+β2)cos(αβ2)\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
  • $\sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $
  • $\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $
  • cosαcosβ=2sin(α+β2)sin(αβ2)\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

积化和差

  • cosαsinβ=12[sin(α+β)sin(αβ)]\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]
  • $\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] $
  • cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]
  • sinαsinβ=12[cos(α+β)cos(αβ)]\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]

倍角公式

  • sin2α=2sinαcosα=2tanα+cotα\displaystyle\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2}{\tan \alpha+\cot \alpha}
  • $\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha =2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha $
  • $\displaystyle\tan 2 \alpha =\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} $
  • $\displaystyle\cot 2 \alpha =\frac{\cot ^{2} \alpha-1}{2 \cot \alpha} $
  • $\displaystyle\sec 2 \alpha= \frac{\sec ^{2} \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} $
  • $\displaystyle\csc 2 \alpha= \frac{1}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1}{2} \sec \alpha \csc \alpha $

半角公式

  • sin(α2)=±1cosα2\displaystyle\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}
  • cos(α2)=±1+cosα2\displaystyle\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}
  • tan(α2)=±1cosα1+cosα=sinα1+cosα=1cosαsinα=cscαcotα\displaystyle\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\csc \alpha-\cot \alpha
  • cot(α2)=±1+cosα1cosα=1+cosαsinα=sinα1cosα=cscα+cotα\displaystyle\cot \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}=\csc \alpha+\cot \alpha
  • sec(α2)=±2secαsecα+1\displaystyle\sec \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \alpha}{\sec \alpha+1}}
  • csc(α2)=±2secαsecα1\displaystyle\csc \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \alpha}{\sec \alpha-1}}

万能公式

  • sinα=2tanα21+tan2a2\displaystyle\sin\alpha = \frac {2\tan\frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac a 2}
  • cosα=1tan2α21+tan2a2\displaystyle\cos\alpha = \frac {1-\tan^2\frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac a 2}
  • tanα=2tanα21tan2a2\displaystyle\tan\alpha = \frac {2\tan\frac \alpha 2}{1 - \tan^2 \frac a 2}

降幂公式

  • sin2α=12(1cos2α)\sin^2\alpha = \frac 1 2(1 - \cos2\alpha)
  • cos2α=12(1+cos2α)\cos^2\alpha = \frac 1 2(1 + \cos2\alpha)
  • tan2α=1cos2α1+cos2α\displaystyle\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{1+\cos 2\alpha}

三角形

正弦定理

在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径,即 asinA=bsinB=csinC\displaystyle\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}。(RR 为外接圆半径)。

余弦定理

对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

有:

$a{2}=b{2}+c^{2}-2 b c \cos A $

b2=a2+c22accosBb^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B

c2=a2+b22abcosCc^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C

每个角:

cosA=b2+c2a22bc\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}

cosB=a2+c2b22ac\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}

cosC=a2+b2c22ab\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}

排列与组合

基本计数原理

  1. 加法原理和分类计数法
  2. 乘法原理和分步计数法

排列

nn 个不同元素中,任取自然数 m(mn)m(m\leq n) 个不同的元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 nn 个不同元素中取出 mm 个元素的一个排列(arrangement)。

nn 个不同元素中取出 m(mn)m(m\leq n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 nn 个不同元素中取出 mm 个元素的排列数,用符号 A(m,n)A(m,n)AnmA_n^m 表示。

Anm=n(n1)(n2)(nm+1)m=n!(nm)!\displaystyle A^m_n = \underbrace{n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)}_{m 个因子} = \frac{n!}{(n-m)!}

组合

nn 个不同元素中,任取自然数 m(mn)m(m\leq n) 个不同的元素并成一组,叫做从 nn 个不同元素中取出 mm 个元素的一个组合(combination)。

nn 个不同元素中取出 m(mn)m(m\leq n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 nn 个不同元素中取出 mm 个元素的排列数,用符号 C(m,n)C(m,n)CnmC_n^m 表示。

Cnm=Anmm!=n!m!(nm)!\displaystyle C^m_n = \frac {A^m_n} {m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}

二项式定理

对于 nNn \in \mathbf{N}^{*},有

(a+b)n=r=0nCnranrbr=Cn0an+Cn1an1b++Cnranrbr++Cnnbn\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+\cdots+C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}+\cdots+C_{n}^{n} b^{n}

这就是二项式定理。等式右边即为 (a+b)n(a+b)^{n} 的二项展开式, 它共有 n+1n+1 项。

CnranrbrC_{n}^{r} a^{n-r} b^{r} 叫做二项展开式的第 r+1r+1 项,也即通项,用 Tr+1T_{r+1} 表示:Tr+1=CnranrbrT_{r+1}=C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}
Cnr(r=0,1,2,,n)C_{n}^{r} \quad(r=0,1,2, \cdots, n) 叫做第 r+1r+1 项的二项式系数

(来源于 【高中数学基础课】二项式定理 - 知乎

实数集的界

上下界

EE 为非空实数集,ER\exists E \in R

  • xE:xM\forall x \in E: x \leq M,称 MMEE 的一个上界

  • 下界同理

EE 既有上界也有下界,则称为是有界的:M>0,xE:xM\exists M >0, \forall x \in E: |x| \leq M

上确界

EE 为非空实数集, βR\exists \beta \in R

  1. xE\forall x \in Exβx \leq \beta
  2. δ>0xδ:xδ>βδ\forall \delta > 0,\exists x_\delta : x_\delta > \beta - \delta

β\betaEE上确界

确界存在性定理

确界存在定理指的是,如果一个集合有上界,则必存在上确界。

确界存在定理又称之为实数系连续性定理。若实数系不连续,则在数轴上会有一段间隙,有间隙即存在长度 ll,有长度即存在 ε<l\varepsilon\lt l,使得 xS,x>βε\nexists x\in S,x\gt \beta-\varepsilon ,间隙左侧数集没有上确界,间隙右侧数集没有下确界,与确界存在定理矛盾,即实数系是连续的。

(来源于 确界存在定理(实数系连续性定理) - 简书