Coding的痕迹

一位互联网奔跑者的网上日记

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高等数学3 极限与连续

数列

定义域为 NN 的函数 xn=f(n),nN+x_n = f(n), n \in N_+,写作 x1,x2,,xn,x_1, x_2,\dots,x_n,\dots{xn}\{x_n\}。一般讨论数列的单调性有界性

例:试证以下数列单调增加且有界:(p4 数列的极限1)

  1. xn=2+2++2x_n = \sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt2}}nn 重根号)
  2. xn=a+a++ax_n = \sqrt{a + \sqrt{a+\dots+\sqrt a}}nn 重根号,a>0a > 0

数列 xn{x_n} 中的无穷项,它们下标依次为 n1<n2<<nk<n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots,则称数列 xn1,xn2,,xnk,x_{n_1},x_{n_2},\dots,x_{n_k},\dots{xn}\{x_n\}子列,记为 {xnk}\{x_{n_k}\}

数列的极限

  1. xn=1nx_n = \frac 1 n
  2. xn=(1)nnx_n = \frac{(-1)^n}n
  3. xn=1+(1)n2nx_n = \frac{1+(-1)^n}{2n}

数列的变化趋势:无限地接近零,与零的距离任意小

xn{x_n}AR,ϵ>0,NN+\exists A \in R, \forall \epsilon >0, \exists N \in \textbf{N}_+
n>Nn > N 时,xnA<ϵ| x_n - A | < \epsilon。则称 AA{xn}\{x_n\} 的极限,或称 {xn}\{x_n\} 收敛于 AA,记为:
limnxn=A\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = AxnA(n)x_n \rightarrow A (n \rightarrow \infty)

  1. 若不存在这样的 AA,则称数列 {xn}\{x_n\} 无极限,或发散的。
  2. ϵ\epsilon 是任意的,但在确定 NN 时又是相对固定的; NN 依赖 ϵ\epsilon ,但不唯一。
  3. 无论 ϵ\epsilon 多么小。数列从某项 xNx_N 以后的项都在邻域 (Aϵ,A+ϵ)(A - \epsilon, A + \epsilon) 内,即在此邻域外只有有限项。

例1:试用定义证明:当 q<1|q| < 1时, limnqn=0\lim_{n\rightarrow\infty} q^n = 0

例2xn=n23n22n+6x_n = \frac{n^2}{3n^2-2n+6},证明 limxxn=13\lim_{x\rightarrow \infty}x_n = \frac 1 3 (适当放大法)

例3limnan=1(a>1)\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1 \quad(a>1) (伯努利不等式的一个推论,见笔记0 #不等式。也可以用 ln\ln

例4limn(n+1n)=0\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=0

习题limnnn=1\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1

无穷小与无穷大

无穷小

limnxn=0\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = 0 ,则称 xn{x_n}无穷小(数列)。例如 xn=1nx_{n}=\frac{1}{n},$ \quad y_{n}=q^{n} \quad(|q|<1)$ 均为无穷小。

  1. limnxn=A{xnA}\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow\left\{x_{n}-A\right\} 为无穷小 $ \Leftrightarrow\left|x_{n}-A\right| $为无穷小

  2. limnxn=limnyn=0limn(xn±yn)=0\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=0 (证明)

    无穷小的和(差)是无穷小。

  3. limnxn=0\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, {yn}\left\{y_{n}\right\} 有界 limnxnyn=0\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0

    无穷小与有界量之乘积是无穷小。

    (利用 ynMy_n \leq M(有界),证明 xnyn<ϵM|x_n|\cdot|y_n| < \frac{\epsilon} {|M|}

无穷大

{xn}\{x_n\}M>0\forall M > 0NN+\exists N \in \textbf{N}+ :当 n>Nn > N 时, xn>M|x_n| > M, 则称 xn{x_n }无穷大。记为:

limxxn=\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = \infty

  1. 试写出 xn{x_n} 为正无穷大 (++\infty) 的定义

  2. 无穷大与无穷小的关系

    xn0x_n \neq 0,则 xn{x_n} 为无穷大 时, {1xn}\{\frac 1 {x_n} \} 为无穷 小。

  3. 无穷大与无界一样吗?

    数列一定是单调的吗?

    • 考察数列 1,0,2,0,3,01, 0, 2, 0, 3, 0 无界,但该数列并不无穷大。
    • xn=nsinnπ2x_n = n \sin \frac{n\pi}{2}

数列极限的性质和运算法则

性质

  • 惟一性

    limnxn=A,limnxn=BA=B\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=B

  • 有界性

    limnxn=AM>0:xn<M\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M (nN+)\left(\forall n \in \mathbf{N}_+\right)

  • 保号性

    limnxn=A>0NN+:n>N,xn>A2\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}

  • 推论(保序性)
    {xn}\left\{x_{n}\right\}, NN+:\exists N \in \mathbf{N}_{+}:n>Nn>N 时, xn0x_{n} \geq 0,且 limnxn=AA0\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0

    1. xn>ynx_n > y_nlimxxn=A\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = Alimxxn=B\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = B AB\Rightarrow A \geq B
    2. 若条件中的 xn0x_n \geq 0 改成 xn>0x_n > 0,成立?
  • 归并性

    limnxn=A{xnk}{xn}:limkxnk=A\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=A

    该命题常常用于说明极限不存在,如证明数列 {xn}\{x_n\} 不存在极限,只需证明 xn{x_n} 的奇数项子列 {x2k1}\{x_{2k-1}\}{x2k}\{x_{2k}\} 的极限不同。同理,有:

    limkx2k1=A 且 limkx2k=Alimnxn=A\lim _{k \rightarrow \infty} x_{2 k-1}=A \text { 且 } \lim _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=A \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A

    只需证明奇子列和偶子列的极限相同,便能得到原数列的极限。(证明,注意 NN 的取值)

运算法则

  • 加减法

    limnxn=A,limnyn=Blimn(xn±yn)=A±B\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B

  • 乘法

    limnxn=A,limnyn=Blimnxnyn=AB\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B
    推论(幕):
    limnxn=A,limnxnm=Am \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}^{m}=A^{m}

  • 除法

    limnxn=A,limnyn=B0limnxnyn=AB\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}

  • 开方运算

    limnxn=Alimnxnm=Am\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[m]{x_{n}}=\sqrt[m]{A} (xn0 时, mN+xn<0 时, m 为奇数 )\left(\begin{array}{l} x_{n} \geq 0 \text { 时, } m \in N_{+} \\ x_{n}<0 \text { 时, } m \text { 为奇数 } \end{array}\right)

例1xn=2n3n+43n35n2+nx_{n}=\frac{2 n^{3}-n+4}{3 n^{3}-5 n^{2}+n}

例2xn=1n2+2n2++nn2x_{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}

例3xn=4n+(3)n4n+1+3n+1x_{n}=\frac{4^{n}+(-3)^{n}}{4^{n+1}+3^{n+1}}

例4xn=n(n+1n)x_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) (分子有理化)

例5:xn=(1122)(1132)(11n2)x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) (裂项相消)

例6xn=sinn2nx_{n}=\frac{\sin n^{2}}{n}sinx\sin x 有界)

例7limnn(2n2+12n21)\lim_{n\rightarrow\infty} n (\sqrt{2n^2+1} - \sqrt{2n^2-1})

可导出 $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{0} n^{m}+a_{1} n^{m-1}+\cdots+a_{m}}{b_{0} n^{k}+b_{1} n^{k-1}+\cdots+a_{k}}=\left{\begin{array}{ll}\frac{a_{0}}{b_{0}} & m=k \ 0 & m<k \ \infty & m>k\end{array}\right.$$

数列极限存在的判别准则

夹逼准则

N\exists N,当 n>Nn > Nynxnzny_n \leq x_n \leq z_n,且 limnyn=limnzn=A\lim_{n\rightarrow\infty} y_n = \lim_{n\rightarrow\infty} z_n = A,可以得到:limnxn=A\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A (注意 A=0A = 0 的情况)

例1:求下列数列的极限。

  1. xn=10nn!x_{n}=\frac{10^{n}}{n!} (判断分子分母的增长速度, 0<xn<101010!(1011)n100 < x_n < \frac{10^{10}}{10!} (\frac{10}{11})^{n-10}
  2. xn=1n+2n+3nnx_{n}=\sqrt[n]{1^{n}+2^{n}+3^{n}} (适当放大)
  3. xn=14+24++n4nx_{n}=\sqrt[n]{1^{4}+2^{4}+\cdots+n^{4}} (适当放缩)
  4. xn=1n(1n+1+1n+2++1n+n)x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}}\right)

例2x0,fn(x)=1+xn+(x22)nnx \geq 0, f_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}, 求 limnfn(x)\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) (分类)

单调有界数列极限存在准则

若数列 {xn}\{x_n\} 单调增加且有上界,则 {xn}\{x_n\} 有极限。单调递减且有下界的数列同理。

例1xn=2+2++2x_n = \sqrt{2 + \sqrt{2+\dots+\sqrt 2}}nn重根号)

例2:设 x1>1x_1 > 1xn+1=2xnxn+1x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n + 1}n2n \geq 2),证明 {xn}\{x_n\}有极限,并求之。

函数极限

  1. x+x\rightarrow +\infty 的情况

    f(x)f(x) 定义在 [a,+),AR,ϵ>0[a, +\infty), \exists A \in \textbf{R},\forall \epsilon > 0X>a\exists X > a,当 x>Xx > X,有
    f(x)A<ϵ|f(x) - A| < \epsilon

    称当 xx 趋于正无穷时,f(x)f(x)极限AA,或收敛AA。记为 limx+f(x)=Af(x)A,(x+)\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) = A\quad或\quad f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow+\infty)

    例:证明 limx+arctanx=π2\lim_{x\rightarrow+\infty} \arctan x = \frac \pi 2

  2. xx\rightarrow\infty 的情况

    f(x)f(x) 定义在 x>a,AR,ϵ>0|x| > a, \exists A \in \textbf{R},\forall \epsilon > 0X>a\exists X > a,当 x>X|x| > X,有 f(x)A<ϵ|f(x) - A| < \epsilon
    称当 xx 趋于无穷时,f(x)f(x)极限AA,或收敛AA。记为 $ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A$ 或 f(x)A,(x)f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow\infty)

  3. xax\rightarrow a 的情况

    f(X)f(X) 定义在 aa 的去心邻域,若存在实数 AAϵ>0,δ>0\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, 当 0<xa<δ0 < |x-a| < \delta 时,
    f(x)A<ϵ|f(x) - A| < \epsilon
    称当 xx 趋于 aa 时,f(x)f(x) 的极限为 AA, 或收敛于 AA。记为
    limxaf(x)=Af(x)A,(xa)\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A\quad或\quad f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow a)
    此极限与 f(x)f(x)aa 点定义无关,也与邻域外的值无关。

limxf(x)=Alimxf(x)=Alimx+f(x)=A\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = A 且 \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) = A

例1:证明 limx1lnx=0\lim_{x\rightarrow 1} \ln x = 0

证明:ϵ>0\forall \epsilon > 0, 要 lnx0<ϵ|\ln x - 0 | < \epsilon,即 ϵ<lnx<ϵ-\epsilon < \ln x < \epsilon

也就是 eϵ<x<eϵeϵ1<x1<eϵ1e^{-\epsilon} < x < e^\epsilon \Leftrightarrow e^{-\epsilon} - 1 < x - 1 < e^{\epsilon} - 1

δ=min(eϵ1,1eϵ)\delta = \min (e^\epsilon - 1, 1 - e^{-\epsilon})

0<x1<δ0 < |x-1| < \delta,有 lnx0<ϵ|\ln x - 0| < \epsilon

limx1lnx=0\therefore \lim_{x\rightarrow 1} \ln x = 0

①: 可以判断出 eϵ1e^\epsilon - 1 的绝对值较大。因为 eϵ1eϵ=eϵ1|e^{-\epsilon} - 1| \cdot e^\epsilon = |e^\epsilon - 1|,而 eϵ>0e^\epsilon > 0

例2:证明 limx22x2+x=13\lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{x^2+x} = \frac 1 3 (演示)

证明:ϵ>0\forall \epsilon > 0,要 2x2+x13=x2+x63(x2+x)<ϵ|\frac2 {x^2+x} - \frac1 3| = |\frac{x^2+x-6}{3(x^2+x)}| < \epsilon

由于 x2+x63(x2+x)<x2<1x2x+33(1+1)<6(x2)6=x2|\frac{x^2+x-6}{3(x^2+x)}| \overset{|x-2|<1}{<} \frac{|x-2|\cdot|x+3|}{3(1+1)}<\frac{6(x-2)}{6} = |x-2|

只要取 δ=min(ϵ,1)\delta = \min (\epsilon, 1),当 0<x2<δ0 < |x-2| < \delta 时,就有 2x2+x13<ϵ|\frac{2}{x^2+x} - \frac 1 3 | < \epsilon

limx22x2+x=13\therefore \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2}{x^2+x} = \frac{1}{3}

无穷小与无穷大

  • limxaf(x)=0,\lim _{x \rightarrow a} f(x)=0, 则称当 xax \rightarrow a 时, f(x)f(x) 为无穷小。可记为 f(x)=o(1)(xa)f(x)=o(1) \quad(x \rightarrow a)

    显然有 limxaf(x)=Af(x)A\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A \quad \Leftrightarrow \quad f(x)-A 为无穷小

  • f(x)f(x) 定义在 U(a),M>0,δ>0,U(a), \forall M>0, \exists \delta>0,0<xa<δ0<|x-a|<\deltaf(x)>M|f(x)|>M

    则称当 xax \rightarrow a 时, f(x)f(x) 为无穷大, 记 limxaf(x)=\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty

函数极限与数列极限的关系

海涅(Heine)定理

limxaf(x)=A{xn},xna\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \{x_n\}, x_n \rightarrow a,则 limnf(xn)=A\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = A

性质

  • 唯一性

    limxaf(x)=A,limxaf(x)=BA=B\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A, \lim_{x\rightarrow a}f(x) = B \Rightarrow A=B

  • 局部有界性

    limxaf(x)=Aδ>0,M>0:f(x)M,(xU˚(a,δ))\lim_{x\rightarrow a} f(x) = A \Rightarrow \exists \delta>0, M>0: |f(x)| \leq M, (x \in \mathring{U}(a, \delta))

  • 局部保号性

  • 保序性

运算法则

limxaf(x)=A,limxag(x)=B,h(x)\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B, h(x) 有界,则

  • limxa[f(x)±g(x)]=A±B\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B
  • limxaf(x)g(x)=AB\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=A B
  • limxafm(x)=Am\lim _{x \rightarrow a} f^{m}(x)=A^{m}
    limxaf(x)h(x)=0(A=0)\lim _{x \rightarrow a} f(x) h(x)=0 (A=0)
  • limxaf(x)g(x)=AB(B0)\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} \quad(B \neq 0)
  • limxaf(x)m=Am(f(x)0 时, mN+f(x)0 时, m 取奇数 )\lim _{x \rightarrow a} \sqrt[m]{f(x)}=\sqrt[m]{A} \quad\left(\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \text { 时, } m \in \boldsymbol{N}_{+} \\ f(x) \leq 0 \text { 时, } m \text { 取奇数 }\end{array}\right)

例:求极限 limx1x+32x+2x21\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+3} -\sqrt{2x+2}}{x^2-1}

复合运算法则

limulf(u)=A,limxaφ(x)=l,φ(x)l(xU˚(a))limxaf(φ(x))=A\lim_{u\rightarrow l} f(u) = A, \lim_{x\rightarrow a} \varphi(x) = l, \varphi(x) \neq l (x \in \mathring{U}(a)) \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a} f(\varphi(x)) = A

复合运算法则意味着,limxaφ(x)=l,φ(x)l(xU(a))\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)=l, \varphi(x) \neq l(x \in U(a)) 时, limxaf(φ(x))=u=φ(x)limulf(u)\lim _{x \rightarrow a} f(\varphi(x)) \stackrel{u=\varphi(x)}{=} \lim _{u \rightarrow l} f(u)

例:limxalnx\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\ln x (a>0)(a > 0) (可用 lnx=lnxa+lna\ln x = \ln\frac{x}{a} + \ln a

例:求 limncosa2cosa22cosa2n\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \cos \frac a 2 \cos \frac a {2^2} \dots \cos \frac a {2^n}(PPT 2.4.4 p23)

极限存在判别法

  • 夹逼准则

    U(a)U(a)g(x)f(x)h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x),且 limxag(x)=limxah(x)=A\lim _{x \rightarrow a} g(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=A

    则推出 limxaf(x)=A\lim_{x\rightarrow a} f(x) = A

  • (aδ,a)(a - \delta, a) 内, f(x)f(x) 单调有界,则 f(x)f(x)aa 点的左极限 limxaf(x)\lim_{x\rightarrow a^-}f(x) 存在。 a 点右侧也有类似的结论。

    例1:求证: lima0ax=1\lim_{a\rightarrow 0}a^x = 1a>1a>1

例2:求 limxx0ax\lim_{x\rightarrow x_0}a^x

解:原式 =u=xx0limu0auax0=1ax0=ax0\xlongequal{u=x-x_0} \lim_{u\rightarrow 0}a^{u}\cdot a^{x_0}=1\cdot a^{x_0} = a^{x_0}

例3:求 limx0+(2x+3x5)1x\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{2^x + 3^x}{5})^{\frac 1 x} (采用放缩的办法,求得值为 0)

两个重要极限

  • 第一重要极限 limx0sinxx=1\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x} = 1

    :求 limn2nsinx2n\lim_{n\rightarrow\infty}2^n \sin\frac{x}{2^n}

  • 第二重要极限 limn(1+1n)n=e\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e} ,这里 nn 可以趋向于 正负无穷方向。

    例1:证明 yn=(1+1n)n+1y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} 单调递减(不证)

    例2

    1. xn=112+1314++(1)n11nx_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n},试证 {xn}\left\{x_{n}\right\} 有极限

    (不是单调数列 ,考虑子列 )

    1. 考虑 xn=1+12+13++1nx_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} 是否有极限

无穷小的比较

limxaα(x)=0\displaystyle lim_{x\rightarrow a} \alpha (x) = 0, limxaβ(x)=0\lim_{x\rightarrow a}\beta(x) = 0,且 limxaβ(x)αx=l\lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta(x)}{\alpha x} = l

  • l=0l = 0 时,称 xax\rightarrow aβ(x)\beta (x) 是比 α(x)\alpha (x) 高阶的 无穷小

    记为 β(x)=o(α(x)),xa\beta(x) = o(\alpha(x)), x\rightarrow a

  • l0l \neq 0 时,称 xax\rightarrow aβ(x)\beta (x) 是比 α(x)\alpha (x) 同阶的 无穷小

    特别是,当 l=1l = 1 时,称 xax\rightarrow aβ(x)\beta(x)α(x)\alpha(x) 等价的无穷小,

    记为 β(x)α(x),xa\beta(x) \sim \alpha(x), x\rightarrow a

命题 α(x)β(x)α(x)β(x)=o(α(x))\alpha(x) \sim \beta(x)\quad\Leftrightarrow\quad\alpha(x)-\beta(x) = o(\alpha(x)) ,两个无穷小等价意味着他们只相差一个高阶无穷小。

k阶无穷小limxaα(x)=limxaβ(x)=0\lim_{x\rightarrow a}\alpha(x) = \lim_{x\rightarrow a}\beta(x) = 0,且 C0,k>0\exists C \neq 0, k > 0β(x)Cαk(x),(xα)\beta(x) \sim C \alpha^k(x), (x\rightarrow \alpha) 则称当 xax\rightarrow a 时, β(x)\beta(x)α(x)\alpha (x)kk 阶无穷小, Cαk(x)C\alpha^k (x) 称为 β(x)\beta(x) 的主部。

常见等价无穷小

x0x\rightarrow 0 时,

  • sinxx\sin x \sim x
  • tanxx\tan x \sim x
  • 1cosx12x21 - \cos x \sim \frac 1 2 x^2
  • ln(1+x)x\ln(1+x) \sim x
  • ex1xe^x - 1 \sim x
  • (1+x)α1αx(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x
  • (xsinx)(arcsinxx)x36(x - \sin x) \sim (\arcsin x - x) \sim \frac {x^3}{6} (由 sinx=xx33!+o(x3)\sin x = x - \frac {x^3}{3!} + o(x^3) 得来)
  • (tanxx)(xarctanx)13x3(\tan x - x) \sim (x - \arctan x) \sim \frac 1 3 x^3附录 常见函数的级数展开及推导
  • (tanxsinx)12x3(\tan x - \sin x) \sim \frac 1 2 x^3
  • xln(1+x)12x2x - \ln (1+x) \sim \frac 1 2 x^2
  • arcsinxx\arcsin x \sim x
  • arctanxx\arctan x \sim x

后两个其实是前两个函数的反函数。

1:求 limx0tanxsinxx3\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}

解:原式 = limx0sinx(1cosx)cosxx3=limx0x12x2x3=13\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x (1-\cos x)}{\cos x \cdot x^3} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cdot \frac 1 2 x^2}{x^3}=\frac 1 3

这一题不能用等价无穷小。分子中换成 xx 只是等价无穷小中的主要部分。相减后更高阶的部分起作用。

例2x0x \rightarrow 0 时, f(x)f(x) 是比 xx 高阶的 kk 阶无穷小,又有 limx0ln(1+f(x)sin2x)3x1=5\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{3^{x}-1}=5

试求 kk,且求 limx0f(x)xk\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{k}}

连续

证明

  1. 数列极限的加减运算法则

    已知 limnxn=A,limnyn=B\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B, 证明 limn(xn±yn)=A±Blim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B

    证明

    证明原式,即证明 limn[(xn+yn)(A+B)]=limn[(xnA)+(ynB)]=0\lim_{n\rightarrow\infty} [(x_n + y_n) - (A+B)] = \lim_{n\rightarrow\infty}[(x_n-A) + (y_n-B)] = 0

    limnxn=Alimn(xnA)=0\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = A \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (x_n-A) = 0limnxn=Blimn(xnB)=0\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = B \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (x_n-B) = 0

    又因为无穷小之和是无穷小,原命题得证。

  2. 数列极限的乘法运算法则

    已知 limnxn=A,limnyn=B\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B,证明 limnxnyn=AB\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B

    证明

    即证 limn(xnynAB)=0\lim_{n\rightarrow\infty} (x_ny_n - AB) = 0

    limnxn=A\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = Alimn(xnA)=0\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n - A) = 0, 故 {xn}\{x_n\} 有界。同理,{yn}\{y_n\} 有界。

    limn(xnynAB)=limn[(xnA)yn+A(ynB)]=0\lim_{n\rightarrow\infty} (x_ny_n - AB) = \lim_{n\rightarrow\infty} [(x_n-A)y_n + A(y_n - B)] = 0,原命题得证。

  3. 数列极限的除法运算法则

    已知 limnxn=A,limnyn=B0\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0, 证明 limnxnyn=AB\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}

    证明

    即证 limn(xnynAB)=0\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{x_n}{y_n} - \frac A B) = 0

    limnxn=A\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A,得 limn(xnA)=0\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n - A) = 0

    limnyn=B0limn(ynB)=0\lim_{n\rightarrow\infty} y_n = B \neq 0 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (y_n - B) = 0,且由保号性,N\exists N,当 n>Nn > N 时,yn>B2|y_n| > \frac{|B|}21yn<2B\frac 1{|y_n|} < \frac{2}{|B|} 有界。

    limn(xnynAB)=limnBxnAynByn=limnB(xnA)A(ynB)Byn=0\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{x_n}{y_n} - \frac A B) = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{Bx_n-Ay_n}{B y_n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{B(x_n-A) - A(y_n - B)}{By_n} = 0

  4. 第一重要极限

    先证明,当 0<x<π20 < |x| < \frac \pi 2 时, cosx<sinxx<1\cos x < \frac {\sin x}{x} < 1

    证明

    画单位圆和三角形:

    证明 第一重要极限

    SAOC>SAOB>SAOB\displaystyle S_{\triangle AOC} > S_{扇形 AOB} > S_{\triangle AOB},即 12tanx>12x>12sinx\frac 1 2 \tan x > \frac 1 2 x > \frac 1 2 \sin xsecx>xsinx>1\sec x > \frac x {\sin x} > 1,变为倒数得到 $\cos x < \frac{\sin x} x < 1 $,得证。

    由夹逼定理,原命题也易证。

  5. 第二重要极限

    证明

    对于数列 {xn}\{x_n\}xn=(1+1n)nx_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} (典型方法)

    xn=(1+1n)n=1+Cn11n+Cn21n2+Cn31n3++Cnn1nnx_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+C_{n}^{1} \cdot \frac{1}{n}+C_{n}^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}+C_{n}^{3} \cdot \frac{1}{n^{3}}+\cdots+C_{n}^{n} \cdot \frac{1}{n^{n}}
    =1+1+12!(11n)+13!(11n)(12n)++1n!(11n)(12n)(1n1n)=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)

    由于:

    1. xn+1x_{n+1} 比较,导出单调增加
    2. 适当放大,导出有界性

    故极限存在,求得 ee。下求 limx(1+1x)x=e\lim_{x\rightarrow \infty} (1 + \frac 1 x)^x = e

    n=[x]n = [x], 当 x>1x > 1 时有 nx<n+1n \leq x < n + 1。则有

    (1+1n+1)n<(1+1n+1)x<(1+1x)n<(1+1x)x(1+1n)x<(1+1n)n+1(1 + \frac 1 {n+1})^n < (1+\frac 1 {n + 1})^x < (1 + \frac 1 x)^n < (1 + \frac 1 x)^x \leq (1 + \frac 1 n )^ x < (1 + \frac 1 n)^{n+1}。左式 = 右式 = ee

    xx \rightarrow -\infty 时,令 y=xy = -x 代换即可。

    得证。