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一位互联网奔跑者的网上日记

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高等数学5 微分中值定理和导数的应用

微分中值定理

Fermat 定理

极值 若在点 x0x_{0} 的邻域, 有 f(x)f(x0)f(x) \leq f(x_{0}),称 f(x0)f\left(x_{0}\right)f(x)f(x) 的一个极大值, 称 x0x_{0}f(x)f(x) 的一个极大值点 (类似地有极小值的概念)

定理f(x)f(x) 在点 x0x_{0} 处取得极值, 且 x0x_{0} 可导, 则 f(x0)=0f^{\prime}\left(x_{0}\right) = 0

Rolle 定理

若:(1) f(x)C[a,b]f(x) \in C[a,b] (2) f(x)D(a,b)f(x) \in D(a, b) (3) f(a)=f(b)f(a) = f(b)

有:ξ(a,b),f(ξ)=0\exists \xi \in (a, b), f'(\xi) = 0

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证明 (思路:是否有极值点)

由闭区间连续函数性质,x1,x2[a,b]\exists x_1, x_2 \in [a,b], f(x1)=M=max[a,b]f(x)f(x_1) = M = \max_{[a,b]} f(x), f(x2)=m=min[a,b]f(x)f(x_2) = m = \min_{[a,b]} f(x).

  1. x1,x2x_1, x_2 均为 [a,b][a, b] 端点,则 M=mM = mf(x)=Cf(x) = C
  2. x1,x2x_1, x_2 至少有一个不与端点值相等,不妨设 x1x_1。此时 M>f(a)=f(b)M > f(a) = f(b),故 x1x_1 为极大值点,由费马定理, f(x1)=0f'(x_1) = 0.

Lagrange 定理

若:(1) f(x)C[a,b]f(x) \in C[a,b] (2) f(x)D(a,b)f(x) \in D(a,b)

则: ξ(a,b),f(ξ)=f(b)f(a)ba\exists \xi \in (a, b), f'(\xi)= \frac {f(b) - f(a)}{b - a}.

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证明思路 (构造辅助函数)使曲线的开始和结束点水平,也就是将曲线方程减去直线的方程。为方便使用罗尔定理,改写结论:f(ξ)f(b)f(a)ba=0f'(\xi) - \frac {f(b) - f(a)}{b - a} = 0,这是一个导函数的值为 0,可看出构造的辅助函数为 F(x)=f(x)f(b)f(a)baxF(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x。由于需要满足 F(a)=F(b)F(a) = F(b),在 F(x)F(x) 中加个常数变成 F(x)=f(x)f(b)f(a)ba(xa)F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) 即可。

证明F(x)=f(x)f(b)f(a)ba(xa)F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a),由 $f \in C[a,b] \cap D(a,b) $ \Rightarrow F(x)C[a,b]D(a,b)F(x) \in C[a,b] \cap D(a,b)

F(a)=f(a)F(a) = f(a), F(b)=f(b)f(a)F(b) = f(b) - f(a), 依据罗尔定理,存在一点 ξ\xiF(ξ)=0F'(\xi) = 0 \Rightarrow f(ξ)=f(b)f(a)baf'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ,证毕。

Lagrange 定理结论的另一形式

a<ξ<b0<ξaba<1a<\xi<b \Rightarrow 0<\frac{\xi-a}{b-a}<1,记 θ=ξaba\theta=\frac{\xi-a}{b-a},则 ξ=a+θ(ba)\xi=a+\theta(b-a), 从而定理的结论:$$\exists \theta \in(0,1)$$, $$f(b)-f(a)=f’a+\theta(b-a)$$

也描述为:

若取 a=x,b=x+Δxa=x, b=x+\Delta x, 则 θ(0,1)\exists \theta \in(0,1), f(x+Δx)f(x)=f(x+θΔx)Δxf(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta x

推论

f(x)=0(xI)f'(x)= 0 \quad (x\in I) \Rightarrow f(x)=c(xI)f(x) = c \quad(x \in I)

  1. 例: a>0a > 0,求证 α1+α<ln(1+α)<α\displaystyle \frac \alpha {1+\alpha} < \ln(1+\alpha) < \alpha
  2. a0n+1+a1n++an12+an=0\displaystyle \frac {a_0} {n+1} + \frac {a_1} {n} + \cdots + \frac {a_{n-1}} {2} + a_n = 0,试证方程 a0xn+a1xn1++an1x+an=0a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n = 0(0,1)(0, 1) 至少有一个根
  3. f(x)C[a,b]D(a,b)f(x) \in C[a, b] \cap D(a,b), f(a)=f(b)=0f(a) = f(b) = 0,求证 ξ(a,b)\exists \xi \in (a, b), f(ξ)=f(ξ)f'(\xi) = f(\xi).
  4. f(x)C[a,b]D(a,b)f(x) \in C[a, b] \cap D(a,b), f(a)=f(b)=0f(a) = f(b) = 0,试证 ξ(a,b)\exists \xi \in (a, b), f(ξ)ξ=f(ξ)2014\frac{f(\xi)}{\xi} = \frac{f'(\xi)}{2014}.

Cauchy 定理

有:(1) f(x),g(x)C[a,b]f(x), g(x) \in C[a,b] (2) f(x),g(x)D[a,b]f(x), g(x) \in D[a, b]g(x)0g'(x) \neq 0

得:ξ(a,b)\exists \xi \in(a, b)f(ξ1)g(ξ2)=f(b)f(a)g(b)g(a)\displaystyle \frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

Cauchy 定理是 Lagrange 定理的推广,注意,不能对 f,gf, g 分别用 Lagrange 定理。证明思路:改写结论 f(ξ)=f(b)f(a)g(b)g(a)g(ξ)f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} g'(\xi) ,辅助函数 f(x)f(b)f(a)g(b)g(a)(g(x)g(a))f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} (g(x) - g(a)).

例:设 f(x)C[a,b]f(x) \in C[a, b], (0<a<b)(0 < a < b),且 ff(a,b)(a, b) 可导。试证 ξ(a,b)\exists\xi\in (a,b),使得 f(b)f(a)ba=ξ2f(ξ)ab\frac {f(b) - f(a)}{b-a} = \frac{\xi^2 f'(\xi)}{ab}

在图形上,Cauchy 定理和 Lagrange 定理一样。记参数方程 y=f(t)y = f(t)x=g(t)x = g(t)dydx=f(t)g(t)\frac {dy}{dx} = \frac{f'(t)}{g'(t)}.

L’ Hospital 法则

00\frac{0}{0}

有:(1) limxaf(x)=limxag(x)=0\lim_{x\rightarrow a} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} g(x) = 0 (2) f(x),g(x)f(x), g(x)aa 点领域可导且 g(x)0g'(x) \neq 0 (3) limxaf(x)g(x)=A\lim_{x\rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)} = A

得:limxaf(x)g(x)=A\lim_{x\rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)} = A. 意味着 00\frac 0 0 型的极限 limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)\lim_{x_\rightarrow a}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x_\rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)} 在右端有意义的情况下成立。

证明 (使用柯西定理)

补充定义 f(a)=limxaf(x)=0f(a) = \lim_{x\rightarrow a}f(x) = 0, g(a)=0g(a) = 0 \Rightarrow f(x),g(x)f(x), g(x)aa 点连续, [a,x][a, x][x,a][x, a] 连续,且在 (a,x)(a, x)(x,a)(x, a) 可导。

limxaf(x)g(x)=limxf(x)f(a)g(x)g(a)=limξaf(ξ)g(ξ)=A\lim_{x\rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow}\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \lim_{\xi \rightarrow a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = Aξ\xiaaξ\xi 之间,当 xax\rightarrow aξa\xi \rightarrow a

注意

  • xa+x \rightarrow a^+(或 aa^-\infty 等)法则仍然适用
  • 应用法则时,不要忘记等价无穷小替换
  • limxaf(x)g(x)\lim_{x\rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)} 不存在不意味着 limxaf(x)g(x)\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} 不存在

\frac{\forall}{\infty}

有:(1) limxag(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x) = \infty (2) f(x),g(x)f(x), g(x)aa 的领域可导且 g(x)0g'(x)\neq 0 (3) limxaf(x)g(x)=A\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = AAA 可以不存在,即为 \infty

得:limxaf(x)g(x)=A\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = A

证明略。

Taylor 定理

泰勒公式考虑使用多项式逼近函数。

一点附近的 Taylor 公式

f(x)f(x)x0x_0 附近有定义,且在 x0x_0nn 阶导数,则:

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o((xx0)n)f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)

分析

我们记 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+a2(xx0)2+a3(xx0)3+f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + \cdots

对两边求导, f(x)=f(x0)+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+f'(x) = f'(x_0) + 2a_2(x - x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + \cdots

再两边求导,f(x)=2a2+6a3(xx0)+f''(x) = 2a_2 + 6a_3(x - x_0) + \cdots

若左右两侧取 x=x0x = x_0,右边每一项 xx0x - x_0 就可以消去,所以 a2=f(x0)2a_2 = \frac{f''(x_0)}{2}a3=f(3)(x0)3!a_3 = \frac{f^{(3)}(x_0)}{3!} … 猜测 an=f(n)(x0)n!a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

证明 (多次使用洛必达法则)

P(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)nP(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}

结论即证明 limxx0f(x)P(x)(xx0)n=0\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-P(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=0

n1n - 1 阶导数,原式 = limxx0f(n1)(x)P(n1)(x)n!(xx0)=limxx0f(n1)(x)[f(n1)(x0)+f(n)(x0)(xx0)]n!(xx0)=limxx0[f(n1)(x)f(n1)(x0)n!(xx0)f(n)(x0)n!]=f(n)(x)n!f(n)(x0)n!=0\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{(n-1)}(x)-P^{(n-1)}(x)}{n !\left(x-x_{0}\right)} = \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{(n-1)}(x)-\left[f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)+f^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\right]}{n !\left(x-x_{0}\right)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\left[\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{n!(x-x_0)} - \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\right] = \frac{f^{(n)(x)}}{n!} - \frac{f^{(n)(x_0)}}{n!} = 0

注意,命题中 f(x)f(x)x0x_0 处有 nn 阶导数,但 x0x_0 点附近未必有 nn 阶导数。

区间 (a,b)(a, b) 上的 Taylor 公式

f(x)f(x)(a,b)(a, b)n+1n + 1 阶导数,x0(a,b)x_0 \in (a, b) ,则在 (a,b)(a, b) 成立

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)f(x)= f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)

其中,Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}ξ\xix,x0x, x_{0} 之间,可以记 ξ=x0±θΔx\xi = x_0 \pm \theta\Delta x ),通常称为皮亚诺(Peano) 余项。

分析 仍记 P(x)P(x) 为前述的多项式,结论为 f(x)P(x)(xx0)n+1=f(n+1)(ξ)(n+1)!\frac{f(x) - P(x)}{(x - x_0)^{n + 1}} = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}

证明 可用 Cauchy 定理证明,求 nn 阶导数。

:写出 f(x)=x2lnxf(x) = x^2 \ln xx=1x = 1 处的二阶 Taylor 公式

f(0)=1f(0) = 1

f(x)=2xlnxf'(x) = 2x \ln x f(x)=1f'(x) = 1

f(x)=2lnx+2+1f'(x) = 2\ln x + 2 + 1 f(x)=3f''(x) = 3

所以 f(x)=x2lnx=(x1)+32(x1)2+o((x1)2)f(x) = x^2 \ln x = (x-1) + \frac3 2(x-1)^2 + o((x - 1)^2)

如果要求写 Lagrange 余项,f(3)(x)=2xf^{(3)}(x) = \frac 2 x

f(x)=x2lnx=(x1)+32(x1)2+o(3ξ(x1)33!)f(x) = x^2 \ln x = (x-1) + \frac3 2(x-1)^2 + o(\frac 3 \xi \cdot \frac{(x-1)^3}{3!})

描述一点附近的函数情况,使用一点附近的泰勒公式,余项为比第 nn 项高阶的无穷小,在求极限的时候易得极限为 0,而在描述整体函数状况时需要使用区间的泰勒公式。在证明题一般要用区间上的泰勒公式。

常见函数的 Maclaurin 公式

对于函数 f(x)f(x)f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)

Rn(x)R_{n}(x) 为 Lagrange 余项 f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} (θ(0,1))(\theta \in(0,1)),或 Peano 余项 o(xn)o\left(x^{n}\right)

  1. 11x=n=0xn=1+x+x2++xn+\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdotsx:x<1\forall x:\left|x\right|<1)(几何级数)

  2. ex=1+x+x22!++xnn!+eθxxn+1(n+1)!\displaystyle e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{e^{\theta x} x^{n+1}}{(n+1) !}

  3. sinx=xx33!+x55!+(1)k1x2k1(2k1)!+sin(θx+2k+12π)(2k+1)!x2k+1\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2 k-1}}{(2 k-1) !}+\frac{\sin \left(\theta x+\frac{2 k+1}{2} \pi\right)}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}

  4. (1+x)α=n=0(αn)xn=1+αx+α(α1)2!x2++α(α1)(αn+1)n!xn+\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots

  5. ln(1+x)=n=1(1)n+1nxn=xx22+x33+(1)n+1nxn+\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdotsx(1,1]\forall x\in (-1,1]

  1. 例:求极限 limnn2(anan+1)\lim_{n\rightarrow \infty} n^2 (\sqrt[n]{a} - \sqrt[n+1]{a})
  2. 例:f(x)=xexf(x) = x e^x
  3. 例:f(x)=ln(23x+x2)f(x) = \ln(2 - 3x + x^2)
  4. 例:设 f(x)f(x)x=0x = 0 的邻域二阶可导,且 limx0sinx+xf(x)x3=0\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x + x f(x)}{x^3} = 0,试求 f(0)f(0), f(0)f'(0)f(0)f''(0) 的值。
  5. 例: f(x)f(x)RR 有二阶导数, f(x)>0f''(x) > 0,试证: x,hR\forall x, h \in Rh0h\neq 0f(x+h)+f(xh)>2f(x)f(x+h) + f(x-h) > 2f(x) (区间泰勒公式)

小结

应用 Taylor 公式主要在两类习题:

  • 求极限,可用 Peano 余项形式
  • 证明题,一般需要应用 Lagrange 余项形式

利用导数研究函数性态

判断单调性

f(x)f(x) 在区间 II 可导,则:(1) f(x)>0f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)f(x)II 严格单调增加 (2) f(x)<0f'(x) < 0 \Rightarrow f(x)f(x)II 严格单调减小

  • f(x)f'(x) 仅在 II 内的孤立点为零,结论不变
  • II 为闭区间时,端点只要连续,结论不变
  • f(x)0f'(x) \geq 0,结论中的的严格单调改为单调
  • 逆命题不成立
  1. 例:讨论函数 f(x)=x2exf(x) = x^2 e^{-x} 的单调性

  2. 例:试证当 x>0x>0 时,sinx>xx36\sin x > x - \frac {x^3}{6}

    f(x)=sinxx+x36f(x) = \sin x - x + \frac {x^3}{6}f(x)=cosx1+x22=x222sin2x2=2((x2)2(sin2x2))f'(x) = \cos x - 1 + \frac {x^2}2 = \frac{x^2}2 - 2\sin^2 \frac x 2 = 2\left((\frac x 2)^2 - (\sin^2\frac x 2)\right) ,所以 f(x)f(x) 严格单调增加。当 x>0x>0f(x)>f(0)=0f(x) > f(0) = 0sinx>xx36\sin x > x - \frac {x^3} 6

  3. 例:试证 a,b>0\forall a, b > 0ae2a+be2b(a+b)ea+bae^{2a} + be^{2b} \geq (a+b)e^{a+b} 成立

    可以构造辅助函数 F(x)F(x) 或将式子变形并证明。

判断极值

导数为 0 的点称为驻点f(x)f(x) 的极值点应为驻点或导数不存在的点。

极值第一判别法

f(x)f(x)x0x_0 连续且在其去心邻域内可导,则

  • f(x)f'(x)x0x_0 左正右负,x0x_0f(x)f(x) 的极大值点
  • f(x)f'(x)x0x_0 左负右正,x0x_0f(x)f(x) 的极小值点
  • f(x)f'(x)x0x_0 左右两侧同号,x0x_0 不是 f(x)f(x) 的极值点
  1. 例:讨论 f(x)=x23(x+1)f(x) = x^{\frac 2 3} (x+1) 的单调性和极值
  2. 例:a,b,p,qa, b, p, q 均为正实数,且 1p+1q=1\frac 1 p + \frac 1 q = 1,试证 YoungYoung 不等式:abapp+bqqab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

极值第二判别法

f(x)f(x)x0x_0 有二阶导数,f(x0)=0f'(x_0) = 0,则:

  • f(x0)<0f''(x_0) < 0 时,f(x)f(x)x0x_0 取最大值
  • f(x0)>0f''(x_0) > 0 时,f(x)f(x)x0x_0 取最小值
  1. 例:试求函数 f(x)=excosxf(x) = e^x \cos x(0,2π)(0, 2\pi) 上的极值
  2. 例:y=asinx+13sin3xy = a\sin x + \frac 1 3 \sin 3xx=π3x = \frac \pi 3 取得极值,求 aa。此极值是极大值还是极小值?
  3. 例:y=y(x)y = y(x) 由方程 2y32y2+2xyx2=12y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1 所确定,求其极值。
  4. 例:f(x)f(x)R\mathbf R 有二阶导数,f(x)>0f''(x) > 0,试证 x,hR(h0)\forall x, h \in \mathbf R (h\neq 0)f(x+h)+f(xh)>2f(x)f(x+h) + f(x-h) > 2f(x)
  5. 例:x>0x > 0 时,方程 kx+1x2=1kx + \frac 1 {x^2} = 1 有且仅有一根,求 kk 的值。

最值的求法

连续函数 f(x)f(x) 的最值点应为极值点或区间的端点。

  1. 例:求 f(x)=(x22x)23f(x) = \sqrt[3]{(x^2 - 2x)^2}[2,3][-2, 3] 的最大最小值
  2. 例:求 底面半径为 2cm 高为 3cm 的正圆锥内接长方体的最大体积

当可导函数在定义区间仅有惟一驻点时,而问题又显然有解且不可能在端点达到,则此驻点必为所求最大(小)值点。

凹凸性和拐点

凹凸性 f(x)f(x) 在区间 II 连续,且 x1,x2I\forall x_1, x_2 \in I, a(0,1)a\in (0, 1)f(ax1+(1α)x2)αf(x1)+(1α)f(x2)f(ax_1 + (1-\alpha)x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2),则称 f(x)f(x)II下凸的,也称函数曲线在 II下凸的,割线在曲线的上方。类似地,有上凸的概念。

式中如果是小于号且 x1x2x_1 \neq x_2 时,称 f(x)f(x) 严格下凸。

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凸性第一判别法

f(X)D(a,b)f(X) \in D(a, b),则

  1. f(x)f'(x) 严格单调增加时, f(x)f(x)(a,b)(a, b) 严格下凸
  2. f(x)f'(x) 严格单调减少时, f(x)f(x)(a,b)(a, b) 严格上凸

凸性第二判别法

f(X)f(X)(a,b)(a, b) 二阶可导,则

  1. f(x)>0f''(x) > 0 时, f(x)f(x)(a,b)(a, b) 严格下凸
  2. f(x)<0f''(x) < 0 时, f(x)f(x)(a,b)(a, b) 严格上凸

拐点 f(x)C(a,b)f(x) \in C(a, b)x0(a,b)x_0 \in (a, b)f(x)f(x) 下凸与上凸的分界点,则称 x0x_0 是函数ff 的拐点,而称 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 为曲线 y=f(x)y = f(x)拐点

拐点的判别:连续函数 f(x)f(x)x0x_0 处二阶导数为零(或不存在),则

  1. ff''x0x_0 两侧异号时,x0x_0f(x)f(x) 的拐点
  2. ff''x0x_0 两侧同号时,x0x_0 不是 f(x)f(x) 的拐点
  1. 例:设 f(x)=ex2f(x) = e^{-x^2},试讨论其凸性与拐点
  2. 例:已知 f(x)f(x)R\mathbf R 连续,f(x)f'(x) 的图形如下,试求 f(x)f(x) 的极值点和拐点数(四个极值点,一个拐点)。

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  1. 例:试证对 a,b>0\forall a, b > 0 成立,aabb(a+b2)a+b\displaystyle a^a b^b \geq (\frac{a+b}{2})^{a+b}

    对于幂指函数先取对数,再变形,找出辅助函数

函数的作图

曲线的渐近线

PP 是曲线 CC 上的一点,OO 是原点,LL 是一条直线。若 limOP+d(P,L)=0\displaystyle lim_{OP\rightarrow +\infty} d(P, L) = 0,其中 d(P,L)d(P, L)PPLL 的距离,则称 LLCC 的渐近线。

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铅直渐近线

limxx0+f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x) = \infty,则直线 x=x0x = x_0 是曲线 y=f(x)y = f(x) 的铅直渐近线。xx0+x\rightarrow x_0^+ 也可为 xx0x\rightarrow x_0^-,表明曲线在渐近线的哪一侧。

例:讨论函数曲线 y=x32x+1x21y = \frac{x^3-2x+1}{x^2-1} 的铅直渐近线

水平渐近线

limx+f(x)=b\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = b,则直线 y=by = b 是曲线 y=f(x)y = f(x) 的水平渐近线。x+x\rightarrow +\infty 也可为 xx\rightarrow -\infty,表明曲线在何方向接近渐近线。

例:讨论 x2x1\displaystyle\frac{\sqrt{x^2}}{x-1} 的水平渐近线

斜渐近线

如果 y=ax+by = ax+b 是曲线 y=f(x)y = f(x) 的斜渐近线,则 limx+[f(x)(ax+b)]=0\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 (或 xx\rightarrow -\infty\Rightarrowlimx+f(x)x=a\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x} = a, limx+[f(x)ax]=b\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x) - ax] = b

  1. 例:y=x3x22x3\displaystyle y = \frac{x^3}{x^2-2x-3}
  2. 例:y=f(x)y = f(x)y3x3+2xy=0y^3 - x^3 + 2xy = 0 的隐函数,曲线 y=y(x)y = y(x) 存在斜渐近线,试求之。

函数图形的描绘

  • 讨论函数 f(x)f(x) 的定义域、奇偶性、周期性
  • 求出导数 ff'ff'',确定 ff 的间断点和 ff'ff'' 为零或不存在的点
  • 以上述点将定义域分成若干区间,通过列表讨论单调性、极值、凸性和拐点
  • 求出渐近线
  • 描绘图形,有时可取图形上几个特殊点

例:考察函数的性态且作图: y=xx1+xy = \frac{x|x|}{1+x}

平面曲线的曲率

弧长与微分

弧长

弧长指的是曲线内接折线长度的极限(组成折线的线段长 → 0)。设曲线 C:y=f(x),x[a,b]C: y=f(x), x\in [a, b],其上 P0P_0, PP 分别对应 x0x_0, xx,记弧长 P0P^=S(x)\widehat {P_0P} = S(x) ,由 Δx\Delta x 产生 Δx\Delta x,有:(1)Δx\Delta xΔs\Delta s 同号 (2)limΔx0ΔsPP=1\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{PP'} = 1

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从而导出 dsdx=1+f2(x)ds=1+f2(x)dx\displaystyle \frac{ds}{dx} = \sqrt{1+f'^2(x)} \Rightarrow ds = \sqrt{1 + f'^2(x)} dx,在 ds>0ds > 0 时,ds=(dx)2+(dy)2ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} 的几何意义是:微小弧长可由该处相应小切线段长代替

曲率

若曲线上 PPP \rightarrow P' 对应的切线转动角度为 Δφ\Delta \varphi,对应弧长增量 Δs\Delta s,定义 PP^\widehat {PP'} 的平均曲率为 ΔφΔs\frac{|\Delta \varphi|}{\Delta s}

曲率 k=limPPΔφΔsk=dφdsk = \lim_{P'\rightarrow P} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} \Rightarrow k = |\frac{d \varphi}{d s}|

定义曲率半径 R=1kR = \frac 1 k曲率圆为曲线上某点 PP 指向凹侧的法线上到 PP 距离为 RR 的点为心,RR 为半径的圆。

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曲率公式

若曲线上对应 xxPP 点处切线的倾角为 α\alpha,则 Δφ=Δα\Delta \varphi = \Delta \alpha \Rightarrowk=dφds=dαdsk = |\frac{d\varphi}{ds}| = |\frac{d\alpha}{ds}| \Rightarrow l=y(1+y2)32l = \left|\frac{y''}{(1 + y'^2)^{\frac 3 2}}\right|

例:

  1. 求曲线 y=x2+px+qy=x^{2}+p x+q 上任一点的曲率
  2. 求曲线 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上点 (a2,b2)\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right) 的曲率半径
  3. 求曲线 {x=x(t)y=y(t)\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right. 上对应 tt 的点处的曲率
  4. 求螺旋线 r=aθr = a \theta 上对应 θ\theta 的点处的曲率(改写成参数方程)