导数的概念
例： 若 \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = 0，能否推出 f'(x_0) ？
考虑函数 f(x) = |x|， 当 x = x_0 = 0 时，f'(x) = 0
但该点左右极限不相等，|x| 在 0 处不可导，所以不能推出。（p20 24:00)
命题 f(x) 在 x_0 处可导 \Leftrightarrow f_-'(x_0) = f_+'(x_0)
导函数
若 y = f(x) 在区间 I 内每点有导数，在 I 的闭端点有单侧导数，则称 f(x) 在区间 I 可导，记为 f \in D(I)。而 f'(x) 称为 f(x) 的导（函）数，也可记为 y'(x)， \displaystyle\frac {dy} {dx}， \displaystyle\frac {df} {dx}。
这里，\displaystyle\frac {d}{dx} 就是一个算子，将可微函数 f 映射到它的导数 f'。\displaystyle\frac {d^2}{dx^2} 就是一个算子作用两次。（知乎）
- 可导必连续
- 连续未必可导
例 设 f(x) 在 x=0 处可导，又 F(x)=(1+|\sin x|)f(x)，则 f(0)=0 是 F(x) 在 x=0 处可导的：
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件
微分
我们可以将函数的局部，用线性函数来表示。满足 f(ax + by) = a f(x) + b f(y) 的函数 f 称为线性函数。
一元线性函数形如 f(x) = ax，二元线性函数形如 f(x_1, x_2) = a_1 x_1 + a_2 x_2。微分，就是函数的局部线性近似，就是一个线性函数，局部看起来很接近原来的函数。导数，则是这个线性函数的系数。（偏导数不能完全代表导数）（Source）
进而，可微与可导等价。（Source）
定理 f 在 x 处可微 \Leftrightarrow f 在 x 处可导，且 df = f'(x) \Delta x = f'(x)dx
微商 函数微分与自变量微分之商 dy/dx, 它等于函数的导数, 故导数也称为微商。
基本导数与微分公式表
| 一 | 二 |
|---|---|
| (c)^{\prime}=0 | (\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x |
| $(x^{\alpha}){\prime}=\alpha x{\alpha-1} $ | (\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x |
| (a^{x})' =a^{x} \ln a | (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x |
| (e^{x})' =\mathrm{e}^{x} | (\csc x)'=-\csc x \cot x |
| (\log_{a} x)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} | (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} |
| (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} | (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} |
| (\sin x)^{\prime}=\cos x | $(\arctan x){\prime}=\frac{1}{1+x{2}} $ |
| (\cos x)^{\prime}=-\sin x | (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} |
幂指函数的导数
- y = f(x) \Rightarrow y = e^{g(x) \ln f(x)}
- y = f(x)^{g(x)} \Rightarrow \ln y = g(x) \ln f(x) （对数求导法）
多因子相乘的函数也可以用对数求导法。
例：求 \displaystyle y = \frac{e^{2x}}{\sqrt[3]{2x-1} (4x+3)^2} 的导数（p24 9:00)
反函数的导数
定理 设 x = f(y) 是单调可导函数（f'(y) \neq 0），则它的反函数 y = f^{-1}(x) 在 x 处可导，且 \displaystyle(f^{-1})(x) = \frac 1 {f'(y)} 或 \displaystyle\frac {dy} {dx} = \frac 1 {\frac {dx}{dy}}
隐函数和参数方程求导法
隐函数求导
原则 方程 F(x, y) = 0 两端对 x 求导，视 y 为隐函数 y(x)，再解出 y'(x)。
参数方程求导
定理 设方程 x = \varphi (t), y = \psi(t)，确定函数 y = y(x), 则对应参数为 t 的 x 处导数为 \displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}
证明：y = \psi(t) = \psi(\varphi^{-1}(x))，对 x 求导（链导法）：\displaystyle\frac {dy}{dx} = \psi'(t)\cdot\frac{dt}{dx} = \frac {\psi'(t)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}
极坐标方程表示的函数求导
设曲线的极坐标方程为 r = r(\theta)， 化为参数方程 x = r(\theta)\cos \theta，y = r(\theta)\sin \theta，极角为 \theta 的点处切线斜率：\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{r'(\theta)\sin \theta + r(\theta)\cos \theta}{r'(\theta)\cos \theta - r(\theta)\sin \theta}
高阶导数
定义 设 y = f(x) 在 U(x_0) 可导，则 f(x) 在点 x_0 处的二阶导数 \displaystyle f''(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac {f'(x) - f(x_0)}{x - x_0}。n 阶导数同理。
二阶导数也可以记为 y''(x_0)， \displaystyle\frac {d^2 y}{dx^2} \Big|_{x = x_0}， \displaystyle\frac {d^2 f}{dx^2}\Big| _{x = x_0}。
参数方程确定的函数的二阶导数
设方程 x = \varphi (t), y = \psi(t)，确定函数 y = y(x), 则对应参数为 t 的 x 处的二阶导数为 \displaystyle \frac {d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy/dt}{dx/dt}) \cdot \frac {1}{\frac{dx}{dt}} = \frac {\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)} {\varphi'^3(t)}
这里：已知 \displaystyle\frac {dy}{dx} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}，其中 t = \varphi^{-1}(x) \Rightarrow \displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac d {dx} \left(\frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) \cdot \frac 1 {\frac {dx}{dt}}
注意：\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac {\psi''(t)}{\varphi''(t)}，\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \neq \left (\frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right )'_t
递归法
-
设 y = x^\alpha， \alpha 是实数，求 y 的 n 阶导数。
略。对于多项式的高阶导数：设多项式为 f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n，则 f^{(n)}(x) = a_0 ·n!\neq 0，f^{(n+1)}(x) = 0.
-
证明 (\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac {n\pi}2)
(\sin x)' = \cos x = \sin (x + \frac \pi 2)
(\sin x)'' = \cos (x + \frac \pi 2) = \sin (x + \frac \pi 2\times 2)
……
(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac {n\pi} 2)
类似地，有 (\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac {n\pi} 2)
例：
- y = \ln(1 + x), y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac {(n-1)!}{(1+x)^n}
- y = \frac 1 {ax + b}, y^{(n)} = (-1)^{n} \frac {a^n n!}{(ax + b)^{n+ 1}}
Leibniz 法则
定理 设函数 u, v 有 n 阶导数，则
-
(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}, (cu)^{(n)} = cu^{(n)}. 其中 c 为常数
-
(uv)^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{\prime}+\cdots+C_{n}^{n-1} u^{\prime} v^{(n-1)}+C_{n}^{n} u v^{(n)} =\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}
（数学归纳法证明）
- 例：设 f(x)=\frac{1}{x^{2}+11 x+30}, 求 f^{(100)}(0)
- 例：设 y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}, 求 y^{(n)}(0)