x, y 为两个变量 (x \in D). 对任意的 x \in D，总存在唯一确定的 y 与 x 对应，称 y 为 x 的函数，记作 y = f(x).

函数在 D 上 x_0 对应的 f(x_0) 称为函数在 x_0 的值，有时记为 f|_{x_0}。

常见的函数

符号函数

y = sgn\ x = \left\{ \begin{aligned} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x > 0 \end{aligned} \right.

狄利克雷（Dirichlet）函数 y = D(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in R | Q \\ \end{aligned} \right.

取整函数（左取整） y = [x]

如 [2] = 1, [-0.3] = -1, [3] = 3

  1. [x] \leq x
  2. [x + y] \neq [x] + [y] （通常）
  3. 若 k \in Z ， [x + k] = [x] + k

初等函数

基本初等函数

《高等数学》中的基本初等函数有 6 种。

  1. 幂函数 x ^ a
  2. 指数函数 a ^ x
  3. 对数函数 \log_a x （a > 0 且 a \neq 1）
  4. 三角函数 \sin x， \cos x，\tan x，\cot x，\sec x，\csc x
  5. 反三角函数 \arcsin x，\arccos x，\arctan x，\text{arcot}\ x
  6. 常函数 f(x) = C

初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和（或）复合运算而成的式子。

双曲函数

双曲正弦 \text{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

双曲余弦 \text{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

双曲正切 \text{th} x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

隐函数

方程 F(x, y) = 0 确定的函数

例1：x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow

  • 在 y \geq 0 确定 y = \sqrt{9 - x^2}
  • 在 y \leq 0 确定 y = -\sqrt{9 - x^2}

注意，不能写成 y = \pm\sqrt{9-x^2}，因为这个表达式意味着对于任意 x 的值，存在两个 y 的值。

例2：2x - y = 2\arctan (y - x) 虽然不能得出表达式，但是通过作图同样可以确定函数 y = f(x)。

参数方程表示的函数

极坐标表示的函数

  1. 例： r = a \cos \theta
  2. 例： r = a(1 - \cos \theta)
  3. 例： r^2 = a^2 \cos 2\theta

根据周期性、对称性，再按点描出图形。

性质

奇偶性

例：f(x) = \frac{2^x - 1}{2 ^ x + 1}

单调性

有界性

周期性

周期函数一定有最小正周期吗？

不是。如常函数、前文提到的狄利克雷函数。

函数的运算

加减乘除

f + g，f - g，f \cdot g，f / g

复合

f \circ g ： (f \circ g)(x) = f(g(x))

例1：f(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, & x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \\ \end{aligned} \right.，求 f(f(x))

ANS: f(f(x)) = 1

例2：f(x) = \left\{ \begin{aligned} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x^2, & 1 < x \leq 2 \\ \end{aligned} \right.，g(x) = \ln x，求 f(g(x))， g(f(x))

例3：求 f(x)。

  1. f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}
  2. f(\frac{x+1}{x-2})=2x - 1

拼凑法、反解法

反函数

单射：设 函数 f: X \rightarrow Y，若 x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)，则称 f 为单射的。即，不同的自变量导致不同的函数值（严格单调）。

满射：若 R(f) = Y，则称 f 为满射的。

双射：若 f 既是单射，又是满射的，则称 f 是双射的。

单射函数 f(x) 在其值域上可定义反函数 y = f(x), x \in X \Leftrightarrow x = f^{-1}(y), y \in R(f)，次数图形与原函数重合。当反函数表示为 y = f^{-1}(x), y \in R(f)，图形与原函数图形关于直线 y = x 对称。

例：求 y = \ln (x + \sqrt{1+x^2}) 的反函数

ANS: x = \frac{e^y - e^{-y}}2