高等数学3 极限与连续

数列

定义域为 N 的函数 x_n = f(n), n \in N_+，写作 x_1, x_2,\dots,x_n,\dots 或 \{x_n\}。一般讨论数列的单调性、有界性。

例：试证以下数列单调增加且有界：（p4 数列的极限1）

1. x_n = \sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt2}} （n 重根号）
2. x_n = \sqrt{a + \sqrt{a+\dots+\sqrt a}} （n 重根号，a > 0）

数列 {x_n} 中的无穷项，它们下标依次为 n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots，则称数列 x_{n_1},x_{n_2},\dots,x_{n_k},\dots 为 \{x_n\} 的子列，记为 \{x_{n_k}\}。

数列的极限

1. x_n = \frac 1 n
2. x_n = \frac{(-1)^n}n
3. x_n = \frac{1+(-1)^n}{2n}

数列的变化趋势：无限地接近零，与零的距离任意小。

对 {x_n}，\exists A \in R, \forall \epsilon >0, \exists N \in \textbf{N}_+： 当 n > N 时，| x_n - A | < \epsilon。则称 A 为 \{x_n\} 的极限，或称 \{x_n\} 收敛于 A，记为： \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = A 或 x_n \rightarrow A (n \rightarrow \infty)

1. 若不存在这样的 A，则称数列 \{x_n\} 无极限，或发散的。
2. \epsilon 是任意的，但在确定 N 时又是相对固定的； N 依赖 \epsilon ，但不唯一。
3. 无论 \epsilon 多么小。数列从某项 x_N 以后的项都在邻域 (A - \epsilon, A + \epsilon) 内，即在此邻域外只有有限项。

例1：试用定义证明：当 |q| < 1时， \lim_{n\rightarrow\infty} q^n = 0

例2：x_n = \frac{n^2}{3n^2-2n+6}，证明 \lim_{x\rightarrow \infty}x_n = \frac 1 3 （适当放大法）

例3：\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1 \quad(a>1) （伯努利不等式的一个推论，见笔记0 #不等式。也可以用 \ln）

例4：\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=0

习题：\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1

无穷小与无穷大

无穷小

若 \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = 0 ，则称 {x_n} 为无穷小（数列）。例如 x_{n}=\frac{1}{n}, \quad y_{n}=q^{n} \quad(|q|<1) 均为无穷小。

1. \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow\left\{x_{n}-A\right\} 为无穷小 \Leftrightarrow\left|x_{n}-A\right| 为无穷小

2. \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=0 （证明）

   无穷小的和（差）是无穷小。

3. \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, \left\{y_{n}\right\} 有界 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0

   无穷小与有界量之乘积是无穷小。

   （利用 y_n \leq M（有界），证明 |x_n|\cdot|y_n| < \frac{\epsilon} {|M|}）

无穷大

对 \{x_n\} ，\forall M > 0， \exists N \in \textbf{N}+ ：当 n > N 时， |x_n| > M， 则称 {x_n } 为无穷大。记为：

\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = \infty

1. 试写出 {x_n} 为正无穷大 （+\infty） 的定义

2. 无穷大与无穷小的关系

   若 x_n \neq 0，则 {x_n} 为无穷大 时， \{\frac 1 {x_n} \} 为无穷 小。

3. 无穷大与无界一样吗？

   数列一定是单调的吗？

   • 考察数列 1, 0, 2, 0, 3, 0 无界，但该数列并不无穷大。
   • x_n = n \sin \frac{n\pi}{2}

数列极限的性质和运算法则

性质

• 惟一性

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=B

• 有界性

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M \left(\forall n \in \mathbf{N}_+\right)

• 保号性

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}

• 推论（保序性） 若 \left\{x_{n}\right\}, \exists N \in \mathbf{N}_{+}: 当 n>N 时, x_{n} \geq 0，且 \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0

  1. x_n > y_n， \lim_{x\rightarrow\infty} x_n = A， \lim_{x\rightarrow\infty} x_n = B \Rightarrow A \geq B
  2. 若条件中的 x_n \geq 0 改成 x_n > 0，成立？

• 归并性

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=A

  该命题常常用于说明极限不存在，如证明数列 \{x_n\} 不存在极限，只需证明 {x_n} 的奇数项子列 \{x_{2k-1}\} 和 \{x_{2k}\} 的极限不同。同理，有：

\lim _{k \rightarrow \infty} x_{2 k-1}=A \text { 且 } \lim _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=A \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A

只需证明奇子列和偶子列的极限相同，便能得到原数列的极限。（证明，注意 N 的取值）

运算法则

• 加减法

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B

• 乘法

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B 推论（幕）： \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}^{m}=A^{m}

• 除法

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}

• 开方运算

  \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[m]{x_{n}}=\sqrt[m]{A} \left(\begin{array}{l} x_{n} \geq 0 \text { 时， } m \in N_{+} \\ x_{n}<0 \text { 时, } m \text { 为奇数 } \end{array}\right)

例1： x_{n}=\frac{2 n^{3}-n+4}{3 n^{3}-5 n^{2}+n}

例2： x_{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}

例3： x_{n}=\frac{4^{n}+(-3)^{n}}{4^{n+1}+3^{n+1}}

例4： x_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) （分子有理化）

例5：x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) （裂项相消）

例6：x_{n}=\frac{\sin n^{2}}{n} （\sin x 有界）

例7：\lim_{n\rightarrow\infty} n (\sqrt{2n^2+1} - \sqrt{2n^2-1})

可导出

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{0} n^{m}+a_{1} n^{m-1}+\cdots+a_{m}}{b_{0} n^{k}+b_{1} n^{k-1}+\cdots+a_{k}}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a_{0}}{b_{0}} & m=k \\ 0 & m<k \\ \infty & m>k\end{array}\right.

数列极限存在的判别准则

夹逼准则

若 \exists N，当 n > N，y_n \leq x_n \leq z_n，且 \lim_{n\rightarrow\infty} y_n = \lim_{n\rightarrow\infty} z_n = A，可以得到：\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A （注意 A = 0 的情况）

例1：求下列数列的极限。

1. x_{n}=\frac{10^{n}}{n!} （判断分子分母的增长速度， 0 < x_n < \frac{10^{10}}{10!} (\frac{10}{11})^{n-10}）
2. x_{n}=\sqrt[n]{1^{n}+2^{n}+3^{n}} （适当放大）
3. x_{n}=\sqrt[n]{1^{4}+2^{4}+\cdots+n^{4}} （适当放缩）
4. x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}}\right)

例2：x \geq 0, f_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}, 求 \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) （分类）

单调有界数列极限存在准则

若数列 \{x_n\} 单调增加且有上界，则 \{x_n\} 有极限。单调递减且有下界的数列同理。

例1：x_n = \sqrt{2 + \sqrt{2+\dots+\sqrt 2}} （n重根号）

例2：设 x_1 > 1， x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n + 1} （n \geq 2），证明 \{x_n\}有极限，并求之。

函数极限

1. x\rightarrow +\infty 的情况

   设 f(x) 定义在 [a, +\infty), \exists A \in \textbf{R},\forall \epsilon > 0。\exists X > a，当 x > X，有 |f(x) - A| < \epsilon

   称当 x 趋于正无穷时，f(x) 的极限为 A，或收敛于 A。记为 \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) = A\quad或\quad f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow+\infty)

例：证明 \lim_{x\rightarrow+\infty} \arctan x = \frac \pi 2

2. x\rightarrow\infty 的情况

   设 f(x) 定义在 |x| > a, \exists A \in \textbf{R},\forall \epsilon > 0。\exists X > a，当 |x| > X，有 |f(x) - A| < \epsilon 称当 x 趋于无穷时，f(x) 的极限为 A，或收敛于 A。记为 \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A 或 f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow\infty)

3. x\rightarrow a 的情况

   设 f(X) 定义在 a 的去心邻域，若存在实数 A，\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0， 当 0 < |x-a| < \delta 时， |f(x) - A| < \epsilon 称当 x 趋于 a 时，f(x) 的极限为 A， 或收敛于 A。记为 \lim_{x\rightarrow a}f(x) = A\quad或\quad f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow a)， 此极限与 f(x) 在 a 点定义无关，也与邻域外的值无关。

\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = A 且 \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) = A

例1：证明 \lim_{x\rightarrow 1} \ln x = 0

证明：\forall \epsilon > 0， 要 |\ln x - 0 | < \epsilon，即 -\epsilon < \ln x < \epsilon

也就是 e^{-\epsilon} < x < e^\epsilon \Leftrightarrow e^{-\epsilon} - 1 < x - 1 < e^{\epsilon} - 1

取 \delta = \min (e^\epsilon - 1, 1 - e^{-\epsilon}) ①

当 0 < |x-1| < \delta，有 |\ln x - 0| < \epsilon

\therefore \lim_{x\rightarrow 1} \ln x = 0

①： 可以判断出 e^\epsilon - 1 的绝对值较大。因为 |e^{-\epsilon} - 1| \cdot e^\epsilon = |e^\epsilon - 1|，而 e^\epsilon > 0。

例2：证明 \lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{x^2+x} = \frac 1 3 （演示）

证明：\forall \epsilon > 0，要 |\frac2 {x^2+x} - \frac1 3| = |\frac{x^2+x-6}{3(x^2+x)}| < \epsilon

由于 |\frac{x^2+x-6}{3(x^2+x)}| \overset{|x-2|<1}{<} \frac{|x-2|\cdot|x+3|}{3(1+1)}<\frac{6(x-2)}{6} = |x-2|

只要取 \delta = \min (\epsilon, 1)，当 0 < |x-2| < \delta 时，就有 |\frac{2}{x^2+x} - \frac 1 3 | < \epsilon

\therefore \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2}{x^2+x} = \frac{1}{3}

无穷小与无穷大

• 若 \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0, 则称当 x \rightarrow a 时， f(x) 为无穷小。可记为 f(x)=o(1) \quad(x \rightarrow a)

  显然有 \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A \quad \Leftrightarrow \quad f(x)-A 为无穷小

• 设 f(x) 定义在 U(a), \forall M>0, \exists \delta>0, 当 0<|x-a|<\delta，|f(x)|>M

  则称当 x \rightarrow a 时, f(x) 为无穷大, 记 \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty

函数极限与数列极限的关系

海涅（Heine）定理

\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \{x_n\}, x_n \rightarrow a，则 \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = A

性质

• 唯一性

  \lim_{x\rightarrow a}f(x) = A, \lim_{x\rightarrow a}f(x) = B \Rightarrow A=B

• 局部有界性

  \lim_{x\rightarrow a} f(x) = A \Rightarrow \exists \delta>0, M>0: |f(x)| \leq M, (x \in \mathring{U}(a, \delta))

• 局部保号性

• 保序性

运算法则

若 \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B, h(x) 有界，则

• \lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B
• \lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=A B
• \lim _{x \rightarrow a} f^{m}(x)=A^{m} \lim _{x \rightarrow a} f(x) h(x)=0 (A=0)
• \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} \quad(B \neq 0)
• \lim _{x \rightarrow a} \sqrt[m]{f(x)}=\sqrt[m]{A} \quad\left(\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \text { 时, } m \in \boldsymbol{N}_{+} \\ f(x) \leq 0 \text { 时, } m \text { 取奇数 }\end{array}\right)

例：求极限 \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+3} -\sqrt{2x+2}}{x^2-1}

复合运算法则

\lim_{u\rightarrow l} f(u) = A, \lim_{x\rightarrow a} \varphi(x) = l, \varphi(x) \neq l (x \in \mathring{U}(a)) \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a} f(\varphi(x)) = A

复合运算法则意味着，\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)=l, \varphi(x) \neq l(x \in U(a)) 时， \lim _{x \rightarrow a} f(\varphi(x)) \stackrel{u=\varphi(x)}{=} \lim _{u \rightarrow l} f(u)

例：\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\ln x (a > 0) （可用 \ln x = \ln\frac{x}{a} + \ln a）

例：求 \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \cos \frac a 2 \cos \frac a {2^2} \dots \cos \frac a {2^n}（PPT 2.4.4 p23）

极限存在判别法

• 夹逼准则

  在 U(a) 内 g(x) \leq f(x) \leq h(x)，且 \lim _{x \rightarrow a} g(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=A

  则推出 \lim_{x\rightarrow a} f(x) = A

• 在 (a - \delta, a) 内， f(x) 单调有界，则 f(x) 在 a 点的左极限 \lim_{x\rightarrow a^-}f(x) 存在。 a 点右侧也有类似的结论。

  例1：求证： \lim_{a\rightarrow 0}a^x = 1 （a>1）

  例2：求 \lim_{x\rightarrow x_0}a^x

  解：原式 \xlongequal{u=x-x_0} \lim_{u\rightarrow 0}a^{u}\cdot a^{x_0}=1\cdot a^{x_0} = a^{x_0}

  例3：求 \lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{2^x + 3^x}{5})^{\frac 1 x} （采用放缩的办法，求得值为 0）

两个重要极限

• 第一重要极限 \lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x} = 1

  例：求 \lim_{n\rightarrow\infty}2^n \sin\frac{x}{2^n}

• 第二重要极限 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e} ，这里 n 可以趋向于 正负无穷方向。

  例1：证明 y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} 单调递减（不证）

  例2：

  1. x_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}，试证 \left\{x_{n}\right\} 有极限

     （不是单调数列 ，考虑子列 ）

  2. 考虑 x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} 是否有极限

无穷小的比较

设 \displaystyle lim_{x\rightarrow a} \alpha (x) = 0, \lim_{x\rightarrow a}\beta(x) = 0，且 \lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta(x)}{\alpha x} = l：

• 当 l = 0 时，称 x\rightarrow a 时 \beta (x) 是比 \alpha (x) 高阶的 无穷小

  记为 \beta(x) = o(\alpha(x)), x\rightarrow a

• 当 l \neq 0 时，称 x\rightarrow a 时 \beta (x) 是比 \alpha (x) 同阶的 无穷小

  特别是，当 l = 1 时，称 x\rightarrow a 时\beta(x) 是 \alpha(x) 等价的无穷小，

  记为 \beta(x) \sim \alpha(x), x\rightarrow a

命题 \alpha(x) \sim \beta(x)\quad\Leftrightarrow\quad\alpha(x)-\beta(x) = o(\alpha(x)) ，两个无穷小等价意味着他们只相差一个高阶无穷小。

k阶无穷小 设 \lim_{x\rightarrow a}\alpha(x) = \lim_{x\rightarrow a}\beta(x) = 0，且 \exists C \neq 0, k > 0， \beta(x) \sim C \alpha^k(x), (x\rightarrow \alpha) 则称当 x\rightarrow a 时， \beta(x) 是\alpha (x) 的 k 阶无穷小， C\alpha^k (x) 称为 \beta(x) 的主部。

常见等价无穷小

当 x\rightarrow 0 时，

• \sin x \sim x
• \tan x \sim x
• 1 - \cos x \sim \frac 1 2 x^2
• \ln(1+x) \sim x
• e^x - 1 \sim x
• (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x
• (x - \sin x) \sim (\arcsin x - x) \sim \frac {x^3}{6} （由 \sin x = x - \frac {x^3}{3!} + o(x^3) 得来）
• (\tan x - x) \sim (x - \arctan x) \sim \frac 1 3 x^3 （附录 常见函数的级数展开及推导）
• (\tan x - \sin x) \sim \frac 1 2 x^3
• x - \ln (1+x) \sim \frac 1 2 x^2
• \arcsin x \sim x
• \arctan x \sim x

后两个其实是前两个函数的反函数。

例1：求 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}

解：原式 = \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x (1-\cos x)}{\cos x \cdot x^3} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cdot \frac 1 2 x^2}{x^3}=\frac 1 3

这一题不能用等价无穷小。分子中换成 x 只是等价无穷小中的主要部分。相减后更高阶的部分起作用。

例2： x \rightarrow 0 时， f(x) 是比 x 高阶的 k 阶无穷小，又有 \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{3^{x}-1}=5

试求 k，且求 \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{k}}

连续

证明

1. 数列极限的加减运算法则

   已知 \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B， 证明 lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B

   证明：

   证明原式，即证明 \lim_{n\rightarrow\infty} [(x_n + y_n) - (A+B)] = \lim_{n\rightarrow\infty}[(x_n-A) + (y_n-B)] = 0

   由 \lim_{n\rightarrow\infty}x_n = A \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (x_n-A) = 0，\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = B \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (x_n-B) = 0

   又因为无穷小之和是无穷小，原命题得证。

2. 数列极限的乘法运算法则

   已知 \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B，证明 \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B，

   证明：

   即证 \lim_{n\rightarrow\infty} (x_ny_n - AB) = 0

   由 \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A，\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n - A) = 0， 故 \{x_n\} 有界。同理，\{y_n\} 有界。

   \lim_{n\rightarrow\infty} (x_ny_n - AB) = \lim_{n\rightarrow\infty} [(x_n-A)y_n + A(y_n - B)] = 0，原命题得证。

3. 数列极限的除法运算法则

   已知 \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0， 证明 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}

   证明：

   即证 \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{x_n}{y_n} - \frac A B) = 0

   由 \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A，得 \lim_{n\rightarrow\infty}(x_n - A) = 0

   \lim_{n\rightarrow\infty} y_n = B \neq 0 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (y_n - B) = 0，且由保号性，\exists N，当 n > N 时，|y_n| > \frac{|B|}2 ，\frac 1{|y_n|} < \frac{2}{|B|} 有界。

   \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{x_n}{y_n} - \frac A B) = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{Bx_n-Ay_n}{B y_n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{B(x_n-A) - A(y_n - B)}{By_n} = 0

4. 第一重要极限

   先证明，当 0 < |x| < \frac \pi 2 时， \cos x < \frac {\sin x}{x} < 1

   证明：

   画单位圆和三角形：

   

   有 \displaystyle S_{\triangle AOC} > S_{扇形 AOB} > S_{\triangle AOB}，即 \frac 1 2 \tan x > \frac 1 2 x > \frac 1 2 \sin x， \sec x > \frac x {\sin x} > 1，变为倒数得到 \cos x < \frac{\sin x} x < 1 ，得证。

   由夹逼定理，原命题也易证。

5. 第二重要极限

   证明：

   对于数列 \{x_n\}， x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} （典型方法）

   x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+C_{n}^{1} \cdot \frac{1}{n}+C_{n}^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}+C_{n}^{3} \cdot \frac{1}{n^{3}}+\cdots+C_{n}^{n} \cdot \frac{1}{n^{n}} =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)

   由于：

   1. 与 x_{n+1} 比较，导出单调增加
   2. 适当放大，导出有界性

   故极限存在，求得 e。下求 \lim_{x\rightarrow \infty} (1 + \frac 1 x)^x = e：

   记 n = [x]， 当 x > 1 时有 n \leq x < n + 1。则有

   (1 + \frac 1 {n+1})^n < (1+\frac 1 {n + 1})^x < (1 + \frac 1 x)^n < (1 + \frac 1 x)^x \leq (1 + \frac 1 n )^ x < (1 + \frac 1 n)^{n+1}。左式 = 右式 = e。

   当 x \rightarrow -\infty 时，令 y = -x 代换即可。

   得证。