高等数学5 微分中值定理和导数的应用

微分中值定理

Fermat 定理

极值 若在点 x_{0} 的邻域, 有 f(x) \leq f(x_{0})，称 f\left(x_{0}\right) 是 f(x) 的一个极大值, 称 x_{0} 为 f(x) 的一个极大值点 （类似地有极小值的概念）

定理 若 f(x) 在点 x_{0} 处取得极值, 且 x_{0} 可导, 则 f^{\prime}\left(x_{0}\right) = 0。

Rolle 定理

若：(1) f(x) \in C[a,b] (2) f(x) \in D(a, b) (3) f(a) = f(b)

有：\exists \xi \in (a, b), f'(\xi) = 0

证明 （思路：是否有极值点）

由闭区间连续函数性质，\exists x_1, x_2 \in [a,b], f(x_1) = M = \max_{[a,b]} f(x), f(x_2) = m = \min_{[a,b]} f(x).

1. 若 x_1, x_2 均为 [a, b] 端点，则 M = m，f(x) = C
2. 若 x_1, x_2 至少有一个不与端点值相等，不妨设 x_1。此时 M > f(a) = f(b)，故 x_1 为极大值点，由费马定理， f'(x_1) = 0.

Lagrange 定理

若：(1) f(x) \in C[a,b] (2) f(x) \in D(a,b)

则： \exists \xi \in (a, b), f'(\xi)= \frac {f(b) - f(a)}{b - a}.

证明思路 （构造辅助函数）使曲线的开始和结束点水平，也就是将曲线方程减去直线的方程。为方便使用罗尔定理，改写结论：f'(\xi) - \frac {f(b) - f(a)}{b - a} = 0，这是一个导函数的值为 0，可看出构造的辅助函数为 F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x。由于需要满足 F(a) = F(b)，在 F(x) 中加个常数变成 F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) 即可。

证明 设 F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)，由 f \in C[a,b] \cap D(a,b) \Rightarrow F(x) \in C[a,b] \cap D(a,b)

F(a) = f(a), F(b) = f(b) - f(a), 依据罗尔定理，存在一点 \xi，F'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ，证毕。

Lagrange 定理结论的另一形式

a<\xi<b \Rightarrow 0<\frac{\xi-a}{b-a}<1，记 \theta=\frac{\xi-a}{b-a}，则 \xi=a+\theta(b-a), 从而定理的结论：\exists \theta \in(0,1), f(b)-f(a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a)

也描述为：

若取 a=x, b=x+\Delta x, 则 \exists \theta \in(0,1), f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta x

推论

f'(x)= 0 \quad (x\in I) \Rightarrow f(x) = c \quad(x \in I)

1. 例： a > 0，求证 \displaystyle \frac \alpha {1+\alpha} < \ln(1+\alpha) < \alpha
2. 设 \displaystyle \frac {a_0} {n+1} + \frac {a_1} {n} + \cdots + \frac {a_{n-1}} {2} + a_n = 0，试证方程 a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n = 0 在 (0, 1) 至少有一个根
3. 设 f(x) \in C[a, b] \cap D(a,b), f(a) = f(b) = 0，求证 \exists \xi \in (a, b), f'(\xi) = f(\xi).
4. 设 f(x) \in C[a, b] \cap D(a,b), f(a) = f(b) = 0，试证 \exists \xi \in (a, b), \frac{f(\xi)}{\xi} = \frac{f'(\xi)}{2014}.

Cauchy 定理

有：(1) f(x), g(x) \in C[a,b] (2) f(x), g(x) \in D[a, b] 且 g'(x) \neq 0

得：\exists \xi \in(a, b)， \displaystyle \frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

Cauchy 定理是 Lagrange 定理的推广，注意，不能对 f, g 分别用 Lagrange 定理。证明思路：改写结论 f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} g'(\xi) ，辅助函数 f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} (g(x) - g(a)).

例：设 f(x) \in C[a, b], (0 < a < b)，且 f 在 (a, b) 可导。试证 \exists\xi\in (a,b)，使得 \frac {f(b) - f(a)}{b-a} = \frac{\xi^2 f'(\xi)}{ab}

在图形上，Cauchy 定理和 Lagrange 定理一样。记参数方程 y = f(t)， x = g(t)，\frac {dy}{dx} = \frac{f'(t)}{g'(t)}.

L’ Hospital 法则

\frac{0}{0} 型

有：(1) \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} g(x) = 0 (2) f(x), g(x) 在 a 点领域可导且 g'(x) \neq 0 (3) \lim_{x\rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)} = A

得：\lim_{x\rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)} = A. 意味着 \frac 0 0 型的极限 \lim_{x_\rightarrow a}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x_\rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)} 在右端有意义的情况下成立。

证明 （使用柯西定理）

补充定义 f(a) = \lim_{x\rightarrow a}f(x) = 0, g(a) = 0 \Rightarrow f(x), g(x) 在 a 点连续, [a, x] 或 [x, a] 连续，且在 (a, x) 或 (x, a) 可导。

\lim_{x\rightarrow a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow}\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \lim_{\xi \rightarrow a}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = A （\xi 在 a 与 \xi 之间，当 x\rightarrow a 时 \xi \rightarrow a）

注意

• x \rightarrow a^+（或 a^-，\infty 等）法则仍然适用
• 应用法则时，不要忘记等价无穷小替换
• \lim_{x\rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)} 不存在不意味着 \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} 不存在

\frac{\forall}{\infty} 型

有：(1) \lim_{x\rightarrow a}g(x) = \infty (2) f(x), g(x) 在 a 的领域可导且 g'(x)\neq 0 (3) \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A （A 可以不存在，即为 \infty）

得：\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = A

证明略。

Taylor 定理

泰勒公式考虑使用多项式逼近函数。

一点附近的 Taylor 公式

若 f(x) 在 x_0 附近有定义，且在 x_0 有 n 阶导数，则：

f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)

分析

我们记 f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + \cdots

对两边求导， f'(x) = f'(x_0) + 2a_2(x - x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + \cdots

再两边求导，f''(x) = 2a_2 + 6a_3(x - x_0) + \cdots

若左右两侧取 x = x_0，右边每一项 x - x_0 就可以消去，所以 a_2 = \frac{f''(x_0)}{2}，a_3 = \frac{f^{(3)}(x_0)}{3!} … 猜测 a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

证明 （多次使用洛必达法则）

P(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}

结论即证明 \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-P(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=0

求 n - 1 阶导数，原式 = \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{(n-1)}(x)-P^{(n-1)}(x)}{n !\left(x-x_{0}\right)} = \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{(n-1)}(x)-\left[f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)+f^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\right]}{n !\left(x-x_{0}\right)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\left[\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{n!(x-x_0)} - \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\right] = \frac{f^{(n)(x)}}{n!} - \frac{f^{(n)(x_0)}}{n!} = 0

注意，命题中 f(x) 在 x_0 处有 n 阶导数，但 x_0 点附近未必有 n 阶导数。

区间 (a, b) 上的 Taylor 公式

若 f(x) 在 (a, b) 有 n + 1 阶导数，x_0 \in (a, b) ，则在 (a, b) 成立

f(x)= f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)

其中，R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} （\xi 在 x, x_{0} 之间，可以记 \xi = x_0 \pm \theta\Delta x ），通常称为皮亚诺（Peano） 余项。

分析 仍记 P(x) 为前述的多项式，结论为 \frac{f(x) - P(x)}{(x - x_0)^{n + 1}} = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}

证明 可用 Cauchy 定理证明，求 n 阶导数。

例：写出 f(x) = x^2 \ln x 在 x = 1 处的二阶 Taylor 公式

f(0) = 1

f'(x) = 2x \ln x f'(x) = 1

f'(x) = 2\ln x + 2 + 1 f''(x) = 3

所以 f(x) = x^2 \ln x = (x-1) + \frac3 2(x-1)^2 + o((x - 1)^2)

如果要求写 Lagrange 余项，f^{(3)}(x) = \frac 2 x

f(x) = x^2 \ln x = (x-1) + \frac3 2(x-1)^2 + o(\frac 3 \xi \cdot \frac{(x-1)^3}{3!})

描述一点附近的函数情况，使用一点附近的泰勒公式，余项为比第 n 项高阶的无穷小，在求极限的时候易得极限为 0，而在描述整体函数状况时需要使用区间的泰勒公式。在证明题一般要用区间上的泰勒公式。

常见函数的 Maclaurin 公式

对于函数 f(x)，f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)

R_{n}(x) 为 Lagrange 余项 \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} (\theta \in(0,1))，或 Peano 余项 o\left(x^{n}\right)。

1. \displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots （\forall x:\left|x\right|<1）（几何级数）

2. \displaystyle e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{e^{\theta x} x^{n+1}}{(n+1) !}

3. \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2 k-1}}{(2 k-1) !}+\frac{\sin \left(\theta x+\frac{2 k+1}{2} \pi\right)}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}

4. \displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots

5. \displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots （\forall x\in (-1,1]）

1. 例：求极限 \lim_{n\rightarrow \infty} n^2 (\sqrt[n]{a} - \sqrt[n+1]{a})
2. 例：f(x) = x e^x
3. 例：f(x) = \ln(2 - 3x + x^2)
4. 例：设 f(x) 在 x = 0 的邻域二阶可导，且 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x + x f(x)}{x^3} = 0，试求 f(0), f'(0) 和 f''(0) 的值。
5. 例： f(x) 在 R 有二阶导数， f''(x) > 0，试证： \forall x, h \in R，h\neq 0：f(x+h) + f(x-h) > 2f(x) （区间泰勒公式）

小结

应用 Taylor 公式主要在两类习题：

• 求极限，可用 Peano 余项形式
• 证明题，一般需要应用 Lagrange 余项形式

利用导数研究函数性态

判断单调性

f(x) 在区间 I 可导，则：(1) f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) 在 I 严格单调增加 (2) f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) 在 I 严格单调减小

• 若 f'(x) 仅在 I 内的孤立点为零，结论不变
• I 为闭区间时，端点只要连续，结论不变
• 若 f'(x) \geq 0，结论中的的严格单调改为单调
• 逆命题不成立

1. 例：讨论函数 f(x) = x^2 e^{-x} 的单调性

2. 例：试证当 x>0 时，\sin x > x - \frac {x^3}{6}

   设 f(x) = \sin x - x + \frac {x^3}{6}，f'(x) = \cos x - 1 + \frac {x^2}2 = \frac{x^2}2 - 2\sin^2 \frac x 2 = 2\left((\frac x 2)^2 - (\sin^2\frac x 2)\right) ，所以 f(x) 严格单调增加。当 x>0，f(x) > f(0) = 0 ，\sin x > x - \frac {x^3} 6

3. 例：试证 \forall a, b > 0，ae^{2a} + be^{2b} \geq (a+b)e^{a+b} 成立

   可以构造辅助函数 F(x) 或将式子变形并证明。

判断极值

导数为 0 的点称为驻点。f(x) 的极值点应为驻点或导数不存在的点。

极值第一判别法：

f(x) 在 x_0 连续且在其去心邻域内可导，则

• 当 f'(x) 在 x_0 左正右负，x_0 是 f(x) 的极大值点
• 当 f'(x) 在 x_0 左负右正，x_0 是 f(x) 的极小值点
• 当 f'(x) 在 x_0 左右两侧同号，x_0 不是 f(x) 的极值点

1. 例：讨论 f(x) = x^{\frac 2 3} (x+1) 的单调性和极值
2. 例：a, b, p, q 均为正实数，且 \frac 1 p + \frac 1 q = 1，试证 Young 不等式：ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

极值第二判别法：

f(x) 在 x_0 有二阶导数，f'(x_0) = 0，则：

• 当 f''(x_0) < 0 时，f(x) 在 x_0 取最大值
• 当 f''(x_0) > 0 时，f(x) 在 x_0 取最小值

1. 例：试求函数 f(x) = e^x \cos x 在 (0, 2\pi) 上的极值
2. 例：y = a\sin x + \frac 1 3 \sin 3x 在 x = \frac \pi 3 取得极值，求 a。此极值是极大值还是极小值？
3. 例：y = y(x) 由方程 2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1 所确定，求其极值。
4. 例：f(x) 在 \mathbf R 有二阶导数，f''(x) > 0，试证 \forall x, h \in \mathbf R (h\neq 0)： f(x+h) + f(x-h) > 2f(x)
5. 例：x > 0 时，方程 kx + \frac 1 {x^2} = 1 有且仅有一根，求 k 的值。

最值的求法

连续函数 f(x) 的最值点应为极值点或区间的端点。

1. 例：求 f(x) = \sqrt[3]{(x^2 - 2x)^2} 在 [-2, 3] 的最大最小值
2. 例：求 底面半径为 2cm 高为 3cm 的正圆锥内接长方体的最大体积

当可导函数在定义区间仅有惟一驻点时，而问题又显然有解且不可能在端点达到，则此驻点必为所求最大（小）值点。

凹凸性和拐点

凹凸性 f(x) 在区间 I 连续，且 \forall x_1, x_2 \in I, a\in (0, 1) 有 f(ax_1 + (1-\alpha)x_2) \leq \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)，则称 f(x) 在 I 是下凸的，也称函数曲线在 I 是下凸的，割线在曲线的上方。类似地，有上凸的概念。

式中如果是小于号且 x_1 \neq x_2 时，称 f(x) 严格下凸。

凸性第一判别法

若 f(X) \in D(a, b)，则

1. f'(x) 严格单调增加时， f(x) 在 (a, b) 严格下凸
2. f'(x) 严格单调减少时， f(x) 在 (a, b) 严格上凸

凸性第二判别法

若 f(X) 在 (a, b) 二阶可导，则

1. f''(x) > 0 时， f(x) 在 (a, b) 严格下凸
2. f''(x) < 0 时， f(x) 在 (a, b) 严格上凸

拐点 f(x) \in C(a, b)，x_0 \in (a, b) 是 f(x) 下凸与上凸的分界点，则称 x_0 是函数f 的拐点，而称 (x_0, f(x_0)) 为曲线 y = f(x) 的拐点。

拐点的判别：连续函数 f(x) 在 x_0 处二阶导数为零（或不存在），则

1. f'' 在 x_0 两侧异号时，x_0 是 f(x) 的拐点
2. f'' 在 x_0 两侧同号时，x_0 不是 f(x) 的拐点

1. 例：设 f(x) = e^{-x^2}，试讨论其凸性与拐点
2. 例：已知 f(x) 在 \mathbf R 连续，f'(x) 的图形如下，试求 f(x) 的极值点和拐点数（四个极值点，一个拐点）。

3. 例：试证对 \forall a, b > 0 成立，\displaystyle a^a b^b \geq (\frac{a+b}{2})^{a+b}

   对于幂指函数先取对数，再变形，找出辅助函数

函数的作图

曲线的渐近线

设 P 是曲线 C 上的一点，O 是原点，L 是一条直线。若 \displaystyle lim_{OP\rightarrow +\infty} d(P, L) = 0，其中 d(P, L) 是 P 到 L 的距离，则称 L 是 C 的渐近线。

铅直渐近线

若 \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x) = \infty，则直线 x = x_0 是曲线 y = f(x) 的铅直渐近线。x\rightarrow x_0^+ 也可为 x\rightarrow x_0^-，表明曲线在渐近线的哪一侧。

例：讨论函数曲线 y = \frac{x^3-2x+1}{x^2-1} 的铅直渐近线

水平渐近线

若 \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = b，则直线 y = b 是曲线 y = f(x) 的水平渐近线。x\rightarrow +\infty 也可为 x\rightarrow -\infty，表明曲线在何方向接近渐近线。

例：讨论 \displaystyle\frac{\sqrt{x^2}}{x-1} 的水平渐近线

斜渐近线

如果 y = ax+b 是曲线 y = f(x) 的斜渐近线，则 \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 （或 x\rightarrow -\infty）\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x} = a, \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x) - ax] = b

1. 例：\displaystyle y = \frac{x^3}{x^2-2x-3}
2. 例：y = f(x) 是 y^3 - x^3 + 2xy = 0 的隐函数，曲线 y = y(x) 存在斜渐近线，试求之。

函数图形的描绘

• 讨论函数 f(x) 的定义域、奇偶性、周期性
• 求出导数 f'，f''，确定 f 的间断点和 f'，f'' 为零或不存在的点
• 以上述点将定义域分成若干区间，通过列表讨论单调性、极值、凸性和拐点
• 求出渐近线
• 描绘图形，有时可取图形上几个特殊点

例：考察函数的性态且作图： y = \frac{x|x|}{1+x}

平面曲线的曲率

弧长与微分

弧长

弧长指的是曲线内接折线长度的极限（组成折线的线段长 → 0）。设曲线 C: y=f(x), x\in [a, b]，其上 P_0, P 分别对应 x_0, x，记弧长 \widehat {P_0P} = S(x) ，由 \Delta x 产生 \Delta x，有：（1）\Delta x 与 \Delta s 同号 （2）\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{PP'} = 1

从而导出 \displaystyle \frac{ds}{dx} = \sqrt{1+f'^2(x)} \Rightarrow ds = \sqrt{1 + f'^2(x)} dx，在 ds > 0 时，ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} 的几何意义是：微小弧长可由该处相应小切线段长代替

曲率

若曲线上 P \rightarrow P' 对应的切线转动角度为 \Delta \varphi，对应弧长增量 \Delta s，定义 \widehat {PP'} 的平均曲率为 \frac{|\Delta \varphi|}{\Delta s}

曲率 k = \lim_{P'\rightarrow P} \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} \Rightarrow k = |\frac{d \varphi}{d s}|

定义曲率半径 R = \frac 1 k，曲率圆为曲线上某点 P 指向凹侧的法线上到 P 距离为 R 的点为心，R 为半径的圆。

曲率公式

若曲线上对应 x 的 P 点处切线的倾角为 \alpha，则 \Delta \varphi = \Delta \alpha \Rightarrowk = |\frac{d\varphi}{ds}| = |\frac{d\alpha}{ds}| \Rightarrow l = \left|\frac{y''}{(1 + y'^2)^{\frac 3 2}}\right|

例：

1. 求曲线 y=x^{2}+p x+q 上任一点的曲率
2. 求曲线 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上点 \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right) 的曲率半径
3. 求曲线 \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right. 上对应 t 的点处的曲率
4. 求螺旋线 r = a \theta 上对应 \theta 的点处的曲率（改写成参数方程）