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高等数学4 导数

导数的概念

例: 若 limh0f(x0+h)f(x0h)h=0\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = 0,能否推出 f(x0)f'(x_0)

考虑函数 f(x)=xf(x) = |x|, 当 x=x0=0x = x_0 = 0 时,f(x)=0f'(x) = 0

但该点左右极限不相等,x|x|00 处不可导,所以不能推出。(p20 24:00)

命题 f(x)f(x)x0x_0 处可导 \Leftrightarrow f(x0)=f+(x0)f_-'(x_0) = f_+'(x_0)

导函数

y=f(x)y = f(x) 在区间 II 内每点有导数,在 II 的闭端点有单侧导数,则称 f(x)f(x) 在区间 II 可导,记为 fD(I)f \in D(I)。而 f(x)f'(x) 称为 f(x)f(x) 的导(函)数,也可记为 y(x)y'(x)dydx\displaystyle\frac {dy} {dx}dfdx\displaystyle\frac {df} {dx}

这里,ddx\displaystyle\frac {d}{dx} 就是一个算子,将可微函数 ff 映射到它的导数 ff'd2dx2\displaystyle\frac {d^2}{dx^2} 就是一个算子作用两次。(知乎

  • 可导必连续
  • 连续未必可导

f(x)f(x)x=0x=0 处可导,又 F(x)=(1+sinx)f(x)F(x)=(1+|\sin x|)f(x),则 f(0)=0f(0)=0F(x)F(x)x=0x=0 处可导的:

(A) 充分非必要条件
(B) 必要非充分条件
© 充要条件
(D) 既非充分又非必要条件

微分

我们可以将函数的局部,用线性函数来表示。满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(ax + by) = a f(x) + b f(y) 的函数 ff 称为线性函数。

一元线性函数形如 f(x)=axf(x) = ax,二元线性函数形如 f(x1,x2)=a1x1+a2x2f(x_1, x_2) = a_1 x_1 + a_2 x_2微分,就是函数的局部线性近似,就是一个线性函数,局部看起来很接近原来的函数。导数,则是这个线性函数的系数。(偏导数不能完全代表导数)(Source

进而,可微与可导等价。(Source

定理 ffxx 处可微 \Leftrightarrow ffxx 处可导,且 df=f(x)Δx=f(x)dxdf = f'(x) \Delta x = f'(x)dx

微商 函数微分与自变量微分之商 dy/dxdy/dx, 它等于函数的导数, 故导数也称为微商。

基本导数与微分公式表

(c)=0(c)^{\prime}=0 $(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x $
$(x{\alpha}){\prime}=\alpha x^{\alpha-1} $ (cotx)=csc2x(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x
(ax)=axlna(a^{x})' =a^{x} \ln a $(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x $
(ex)=ex(e^{x})' =\mathrm{e}^{x} (cscx)=cscxcotx(\csc x)'=-\csc x \cot x
(logax)=1xlna(\log_{a} x)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} (arcsinx)=11x2(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
(lnx)=1x(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} (arccosx)=11x2(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$(\sin x)^{\prime}=\cos x $ $(\arctan x){\prime}=\frac{1}{1+x{2}} $
(cosx)=sinx(\cos x)^{\prime}=-\sin x (arccotx)=11+x2(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}

幂指函数的导数

  • y=f(x)y=eg(x)lnf(x)y = f(x) \Rightarrow y = e^{g(x) \ln f(x)}
  • y=f(x)g(x)lny=g(x)lnf(x)y = f(x)^{g(x)} \Rightarrow \ln y = g(x) \ln f(x) (对数求导法)

多因子相乘的函数也可以用对数求导法。

例:求 y=e2x2x13(4x+3)2\displaystyle y = \frac{e^{2x}}{\sqrt[3]{2x-1} (4x+3)^2} 的导数(p24 9:00)

反函数的导数

定理x=f(y)x = f(y) 是单调可导函数(f(y)0f'(y) \neq 0),则它的反函数 y=f1(x)y = f^{-1}(x)xx 处可导,且 (f1)(x)=1f(y)\displaystyle(f^{-1})(x) = \frac 1 {f'(y)}dydx=1dxdy\displaystyle\frac {dy} {dx} = \frac 1 {\frac {dx}{dy}}

隐函数和参数方程求导法

隐函数求导

原则 方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 两端对 xx 求导,视 yy 为隐函数 y(x)y(x),再解出 y(x)y'(x)

参数方程求导

定理 设方程 x=φ(t)x = \varphi (t), y=ψ(t)y = \psi(t),确定函数 y=y(x)y = y(x), 则对应参数为 ttxx 处导数为 dydx=dy/dtdx/dt=ψ(t)φ(t)\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}

证明:y=ψ(t)=ψ(φ1(x))y = \psi(t) = \psi(\varphi^{-1}(x)),对 xx 求导(链导法):dydx=ψ(t)dtdx=ψ(t)dxdt=ψ(t)φ(t)\displaystyle\frac {dy}{dx} = \psi'(t)\cdot\frac{dt}{dx} = \frac {\psi'(t)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

极坐标方程表示的函数求导

设曲线的极坐标方程为 r=r(θ)r = r(\theta), 化为参数方程 x=r(θ)cosθx = r(\theta)\cos \thetay=r(θ)sinθy = r(\theta)\sin \theta,极角为 θ\theta 的点处切线斜率dydx=r(θ)sinθ+r(θ)cosθr(θ)cosθr(θ)sinθ\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{r'(\theta)\sin \theta + r(\theta)\cos \theta}{r'(\theta)\cos \theta - r(\theta)\sin \theta}

高阶导数

定义y=f(x)y = f(x)U(x0)U(x_0) 可导,则 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处的二阶导数 f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0\displaystyle f''(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac {f'(x) - f(x_0)}{x - x_0}nn 阶导数同理。

二阶导数也可以记为 y(x0)y''(x_0)d2ydx2x=x0\displaystyle\frac {d^2 y}{dx^2} \Big|_{x = x_0}d2fdx2x=x0\displaystyle\frac {d^2 f}{dx^2}\Big| _{x = x_0}

参数方程确定的函数的二阶导数

设方程 x=φ(t)x = \varphi (t), y=ψ(t)y = \psi(t),确定函数 y=y(x)y = y(x), 则对应参数为 ttxx 处的二阶导数为 d2ydx2=ddt(dy/dtdx/dt)1dxdt=φ(t)ψ(t)φ(t)ψ(t)φ3(t)\displaystyle \frac {d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy/dt}{dx/dt}) \cdot \frac {1}{\frac{dx}{dt}} = \frac {\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)} {\varphi'^3(t)}

这里:已知 dydx=ψ(t)φ(t)\displaystyle\frac {dy}{dx} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)},其中 t=φ1(x)t = \varphi^{-1}(x) \Rightarrow d2ydx2=ddt(ψ(t)φ(t))dtdx=ddx(ψ(t)φ(t))1dxdt\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac d {dx} \left(\frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) \cdot \frac 1 {\frac {dx}{dt}}

注意:d2ydx2ψ(t)φ(t)\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac {\psi''(t)}{\varphi''(t)}d2ydx2(ψ(t)φ(t))t\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \neq \left (\frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right )'_t

递归法

  1. y=xαy = x^\alphaα\alpha 是实数,求 yynn 阶导数。

    略。对于多项式的高阶导数:设多项式为 f(x)=a0xn+a1xn1++an1x+anf(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n,则 f(n)(x)=a0n!0f^{(n)}(x) = a_0 ·n!\neq 0f(n+1)(x)=0f^{(n+1)}(x) = 0.

  2. 证明 (sinx)(n)=sin(x+nπ2)(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac {n\pi}2)

    (sinx)=cosx=sin(x+π2)(\sin x)' = \cos x = \sin (x + \frac \pi 2)

    (sinx)=cos(x+π2)=sin(x+π2×2)(\sin x)'' = \cos (x + \frac \pi 2) = \sin (x + \frac \pi 2\times 2)

    ……

    (sinx)(n)=sin(x+nπ2)(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac {n\pi} 2)

    类似地,有 (cosx)(n)=cos(x+nπ2)(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac {n\pi} 2)

例:

  • y=ln(1+x)y = \ln(1 + x), y(n)=(1)n1(n1)!(1+x)ny^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac {(n-1)!}{(1+x)^n}
  • y=1ax+by = \frac 1 {ax + b}, y(n)=(1)nann!(ax+b)n+1y^{(n)} = (-1)^{n} \frac {a^n n!}{(ax + b)^{n+ 1}}

Leibniz 法则

定理 设函数 uu, vvnn 阶导数,则

  • (u±v)(n)=u(n)±v(n)(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}, (cu)(n)=cu(n)(cu)^{(n)} = cu^{(n)}. 其中 cc 为常数

  • (uv)(n)=Cn0u(n)v+Cn1u(n1)v++Cnn1uv(n1)+Cnnuv(n)=k=0nCnku(nk)v(k)(uv)^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{\prime}+\cdots+C_{n}^{n-1} u^{\prime} v^{(n-1)}+C_{n}^{n} u v^{(n)} =\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}

    (数学归纳法证明)

  1. 例:设 f(x)=1x2+11x+30f(x)=\frac{1}{x^{2}+11 x+30}, 求 f(100)(0)f^{(100)}(0)
  2. 例:设 y=arcsinx1x2y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}, 求 y(n)(0)y^{(n)}(0)