Coding 的痕迹

一位互联网奔跑者的网上日记

0%

高等数学4 导数

发表于 更新于 分类于
本文字数： 6.9k 阅读时长 ≈ 6 分钟

导数的概念

例： 若 lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0−h)h=0\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = 0，能否推出 f′(x0)f'(x_0) ？

考虑函数 f(x)=∣x∣f(x) = |x|， 当 x=x0=0x = x_0 = 0 时，f′(x)=0f'(x) = 0

但该点左右极限不相等，∣x∣|x| 在 00 处不可导，所以不能推出。（p20 24:00)

命题 f(x)f(x) 在 x0x_0 处可导 ⇔\Leftrightarrow f−′(x0)=f+′(x0)f_-'(x_0) = f_+'(x_0)

导函数

若 y=f(x)y = f(x) 在区间 II 内每点有导数，在 II 的闭端点有单侧导数，则称 f(x)f(x) 在区间 II 可导，记为 f∈D(I)f \in D(I)。而 f′(x)f'(x) 称为 f(x)f(x) 的导（函）数，也可记为 y′(x)y'(x)， dydx\displaystyle\frac {dy} {dx}， dfdx\displaystyle\frac {df} {dx}。

这里，ddx\displaystyle\frac {d}{dx} 就是一个算子，将可微函数 ff 映射到它的导数 f′f'。d2dx2\displaystyle\frac {d^2}{dx^2} 就是一个算子作用两次。（知乎）

  • 可导必连续
  • 连续未必可导

例 设 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处可导，又 F(x)=(1+∣sin⁡x∣)f(x)F(x)=(1+|\sin x|)f(x)，则 f(0)=0f(0)=0 是 F(x)F(x) 在 x=0x=0 处可导的：

(A) 充分非必要条件
(B) 必要非充分条件
© 充要条件
(D) 既非充分又非必要条件

微分

我们可以将函数的局部，用线性函数来表示。满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(ax + by) = a f(x) + b f(y) 的函数 ff 称为线性函数。

一元线性函数形如 f(x)=axf(x) = ax，二元线性函数形如 f(x1,x2)=a1x1+a2x2f(x_1, x_2) = a_1 x_1 + a_2 x_2。微分，就是函数的局部线性近似，就是一个线性函数，局部看起来很接近原来的函数。导数，则是这个线性函数的系数。（偏导数不能完全代表导数）（Source）

进而，可微与可导等价。（Source）

定理 ff 在 xx 处可微 ⇔\Leftrightarrow ff 在 xx 处可导，且 df=f′(x)Δx=f′(x)dxdf = f'(x) \Delta x = f'(x)dx

微商 函数微分与自变量微分之商 dy/dxdy/dx, 它等于函数的导数, 故导数也称为微商。

基本导数与微分公式表

一 二
(c)′=0(c)^{\prime}=0 $(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x $
$(x{\alpha}){\prime}=\alpha x^{\alpha-1} $ (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x
(ax)′=axln⁡a(a^{x})' =a^{x} \ln a $(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x $
(ex)′=ex(e^{x})' =\mathrm{e}^{x} (csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)'=-\csc x \cot x
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_{a} x)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
(ln⁡x)′=1x(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} (arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$(\sin x)^{\prime}=\cos x $ $(\arctan x){\prime}=\frac{1}{1+x{2}} $
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)^{\prime}=-\sin x (arccot⁡x)′=−11+x2(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}

幂指函数的导数

  • y=f(x)⇒y=eg(x)ln⁡f(x)y = f(x) \Rightarrow y = e^{g(x) \ln f(x)}
  • y=f(x)g(x)⇒ln⁡y=g(x)ln⁡f(x)y = f(x)^{g(x)} \Rightarrow \ln y = g(x) \ln f(x) （对数求导法）

多因子相乘的函数也可以用对数求导法。

例：求 y=e2x2x−13(4x+3)2\displaystyle y = \frac{e^{2x}}{\sqrt[3]{2x-1} (4x+3)^2} 的导数（p24 9:00)

反函数的导数

定理 设 x=f(y)x = f(y) 是单调可导函数（f′(y)≠0f'(y) \neq 0），则它的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 在 xx 处可导，且 (f−1)(x)=1f′(y)\displaystyle(f^{-1})(x) = \frac 1 {f'(y)} 或 dydx=1dxdy\displaystyle\frac {dy} {dx} = \frac 1 {\frac {dx}{dy}}

隐函数和参数方程求导法

隐函数求导

原则 方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 两端对 xx 求导，视 yy 为隐函数 y(x)y(x)，再解出 y′(x)y'(x)。

参数方程求导

定理 设方程 x=φ(t)x = \varphi (t), y=ψ(t)y = \psi(t)，确定函数 y=y(x)y = y(x), 则对应参数为 tt 的 xx 处导数为 dydx=dy/dtdx/dt=ψ′(t)φ′(t)\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}

证明：y=ψ(t)=ψ(φ−1(x))y = \psi(t) = \psi(\varphi^{-1}(x))，对 xx 求导（链导法）：dydx=ψ′(t)⋅dtdx=ψ′(t)dxdt=ψ′(t)φ′(t)\displaystyle\frac {dy}{dx} = \psi'(t)\cdot\frac{dt}{dx} = \frac {\psi'(t)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

极坐标方程表示的函数求导

设曲线的极坐标方程为 r=r(θ)r = r(\theta)， 化为参数方程 x=r(θ)cos⁡θx = r(\theta)\cos \theta，y=r(θ)sin⁡θy = r(\theta)\sin \theta，极角为 θ\theta 的点处切线斜率：dydx=r′(θ)sin⁡θ+r(θ)cos⁡θr′(θ)cos⁡θ−r(θ)sin⁡θ\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{r'(\theta)\sin \theta + r(\theta)\cos \theta}{r'(\theta)\cos \theta - r(\theta)\sin \theta}

高阶导数

定义 设 y=f(x)y = f(x) 在 U(x0)U(x_0) 可导，则 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处的二阶导数 f′′(x0)=lim⁡x→x0f′(x)−f(x0)x−x0\displaystyle f''(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac {f'(x) - f(x_0)}{x - x_0}。nn 阶导数同理。

二阶导数也可以记为 y′′(x0)y''(x_0)， d2ydx2∣x=x0\displaystyle\frac {d^2 y}{dx^2} \Big|_{x = x_0}， d2fdx2∣x=x0\displaystyle\frac {d^2 f}{dx^2}\Big| _{x = x_0}。

参数方程确定的函数的二阶导数

设方程 x=φ(t)x = \varphi (t), y=ψ(t)y = \psi(t)，确定函数 y=y(x)y = y(x), 则对应参数为 tt 的 xx 处的二阶导数为 d2ydx2=ddt(dy/dtdx/dt)⋅1dxdt=φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)φ′3(t)\displaystyle \frac {d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy/dt}{dx/dt}) \cdot \frac {1}{\frac{dx}{dt}} = \frac {\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)} {\varphi'^3(t)}

这里：已知 dydx=ψ′(t)φ′(t)\displaystyle\frac {dy}{dx} = \frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}，其中 t=φ−1(x)t = \varphi^{-1}(x) ⇒\Rightarrow d2ydx2=ddt(ψ′(t)φ′(t))⋅dtdx=ddx(ψ′(t)φ′(t))⋅1dxdt\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac d {dx} \left(\frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) \cdot \frac 1 {\frac {dx}{dt}}

注意：d2ydx2≠ψ′′(t)φ′′(t)\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac {\psi''(t)}{\varphi''(t)}，d2ydx2≠(ψ′(t)φ′(t))t′\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} \neq \left (\frac {\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right )'_t

递归法

  1. 设 y=xαy = x^\alpha， α\alpha 是实数，求 yy 的 nn 阶导数。

    略。对于多项式的高阶导数：设多项式为 f(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anf(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n，则 f(n)(x)=a0⋅n!≠0f^{(n)}(x) = a_0 ·n!\neq 0，f(n+1)(x)=0f^{(n+1)}(x) = 0.

  2. 证明 (sin⁡x)(n)=sin⁡(x+nπ2)(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac {n\pi}2)

    (sin⁡x)′=cos⁡x=sin⁡(x+π2)(\sin x)' = \cos x = \sin (x + \frac \pi 2)

    (sin⁡x)′′=cos⁡(x+π2)=sin⁡(x+π2×2)(\sin x)'' = \cos (x + \frac \pi 2) = \sin (x + \frac \pi 2\times 2)

    ……

    (sin⁡x)(n)=sin⁡(x+nπ2)(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac {n\pi} 2)

    类似地，有 (cos⁡x)(n)=cos⁡(x+nπ2)(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac {n\pi} 2)

例：

  • y=ln⁡(1+x)y = \ln(1 + x), y(n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)ny^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac {(n-1)!}{(1+x)^n}
  • y=1ax+by = \frac 1 {ax + b}, y(n)=(−1)nann!(ax+b)n+1y^{(n)} = (-1)^{n} \frac {a^n n!}{(ax + b)^{n+ 1}}

Leibniz 法则

定理 设函数 uu, vv 有 nn 阶导数，则

  • (u±v)(n)=u(n)±v(n)(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}, (cu)(n)=cu(n)(cu)^{(n)} = cu^{(n)}. 其中 cc 为常数

  • (uv)(n)=Cn0u(n)v+Cn1u(n−1)v′+⋯+Cnn−1u′v(n−1)+Cnnuv(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(uv)^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{\prime}+\cdots+C_{n}^{n-1} u^{\prime} v^{(n-1)}+C_{n}^{n} u v^{(n)} =\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}

    （数学归纳法证明）

  1. 例：设 f(x)=1x2+11x+30f(x)=\frac{1}{x^{2}+11 x+30}, 求 f(100)(0)f^{(100)}(0)
  2. 例：设 y=arcsin⁡x1−x2y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}, 求 y(n)(0)y^{(n)}(0)

欢迎关注我的其它发布渠道