本篇主要是高中知识的复习与补充。大部分内容来源于乐经良教授主讲《高等数学》的“实数集”一课，此外也收录了笔者在后续课程中发现自身的缺失之处，以及常用的高中知识点。
具有某种属性的事物的全体称为集合 。元素用小写字母（如 a a a A A A a a a A A A a ∈ A a \in A a ∈ A a a a A A A a ∉ A a \notin A a ∈ / A
集合具有确定性、互异性、无序性。
列举法
描述法 A = { x ∣ 使 x 属 于 A 的 属 性 } A = \{x | 使 x 属于 A 的属性\} A = { x ∣ 使 x 属 于 A 的 属 性 }
并（和）： A ∪ B A \cup B A ∪ B A + B A+B A + B
交（积）： A ∩ B A \cap B A ∩ B A B AB A B
差： A ∖ B A \setminus B A ∖ B
实数集 R R R Q Q Q
有理数集 的特性：
有序性
对加减乘除运算的封闭性 （构成数域）
稠密性
因为任何两个有理数之间至少还有一个有理数 → \rightarrow →
实数集 还具备完备性（或连续性），在极限运算下依然是封闭的。
一般区间用大写字母 I I I
设 a < b a < b a < b
开区间 ( a , b ) = { x ∣ a < x < b , x ∈ R } (a, b) = \{x | a < x < b, x \in R\} ( a , b ) = { x ∣ a < x < b , x ∈ R }
闭区间 [ a , b ] = { x ∣ a ≤ x ≤ b , x ∈ R } [a, b] = \{x | a \leq x \leq b, x \in R\} [ a , b ] = { x ∣ a ≤ x ≤ b , x ∈ R }
半开半闭区间
形如 ( − ∞ , b ) = { x < b , x ∈ R } (-\infty, b) = \{x < b, x \in R\} ( − ∞ , b ) = { x < b , x ∈ R } ( − ∞ , + ∞ ) = R (-\infty, +\infty) = R ( − ∞ , + ∞ ) = R
若 a ∈ R a \in R a ∈ R δ > 0 \delta > 0 δ > 0
a a a δ \delta δ U ( a , δ ) = ( a − δ , a + δ ) U(a, \delta) = (a - \delta, a + \delta) U ( a , δ ) = ( a − δ , a + δ ) a a a δ \delta δ U ˚ ( a , δ ) = ( a − δ , a ) ∪ ( a , a + δ ) \mathring{U}(a, \delta) = (a - \delta, a) \cup (a, a + \delta) U ˚ ( a , δ ) = ( a − δ , a ) ∪ ( a , a + δ )
符号
符号
∀ \forall ∀ 任意
⇒ \Rightarrow ⇒ 蕴含，必要条件
∃ \exists ∃ 存在
⇐ \Leftarrow ⇐ 源于，充分条件
∃ ∣ \exists \vert ∃ ∣ 存在且唯一
⇔ \Leftrightarrow ⇔ 等价
max E \max E max E E 中的最大者
min E \min E min E E 中的最小者
a + b 2 ≥ a b \displaystyle \frac {a+b} 2 \geq \sqrt {ab} 2 a + b ≥ a b
表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
“一正”“二定”“三相等”：“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
算术几何不等式 （A − G A-G A − G
x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \dots,x_n x 1 , x 2 , … , x n x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n \displaystyle\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 + x_2 + \dots + x_n} n x 1 + x 2 + ⋯ + x n ≥ n x 1 + x 2 + ⋯ + x n
变形
a + b ≥ 2 a b a + b \geq 2\sqrt{ab} a + b ≥ 2 a b a = b a = b a = b b a + a b ≥ 2 \displaystyle\frac b a + \frac a b \geq 2 a b + b a ≥ 2 a a a b b b a b ≤ ( a + b 2 ) 2 \displaystyle ab \leq (\frac {a+b} 2)^2 a b ≤ ( 2 a + b ) 2 a , b ∈ R a, b \in R a , b ∈ R ( a + b 2 ) 2 ≤ a 2 + b 2 2 \displaystyle (\frac {a+b} 2)^2 \leq \frac {a^2 + b^2} 2 ( 2 a + b ) 2 ≤ 2 a 2 + b 2 a , b ∈ R a, b \in R a , b ∈ R
二元均值不等式
2 1 a + 1 b ≤ a b ≤ a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \displaystyle \frac 2 {\frac 1 a + \frac 1 b} \leq \sqrt {ab} \leq \frac {a+b} 2 \leq \sqrt {\frac {a^2 + b^2} 2} a 1 + b 1 2 ≤ a b ≤ 2 a + b ≤ 2 a 2 + b 2
调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值，当且仅当 a = b a=b a = b
柯西不等式
( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ ( a c + b d ) 2 (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ ( a c + b d ) 2 ( a , b , c , d ∈ R ) (a,b,c,d \in R) ( a , b , c , d ∈ R )
( a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 ) ≥ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n ) 2 (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 ( a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 ) ≥ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n ) 2
∣ ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ≤ ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ \displaystyle\big||a|-|b|\big| ≤|a\pm b|≤|a|+|b| ∣ ∣ ∣ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ∣ ≤ ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣
当且仅当 a b ≤ 0 ab \leq 0 a b ≤ 0 a b ≥ 0 ab \geq 0 a b ≥ 0
∣ a ∣ |a| ∣ a ∣ a a a a a a a a a b b b a a a − b -b − b a a a b b b a a a − b -b − b ∣ a − b ∣ |a-b| ∣ a − b ∣ a − b a-b a − b a a a b b b
三角不等式
∣ x ± y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x \pm y| \leq |x| + |y| ∣ x ± y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ∣ x − y ∣ ≥ ∣ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ ∣ |x - y| \geq \big||x| - |y|\big| ∣ x − y ∣ ≥ ∣ ∣ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ ∣ ∣
伯努利（Bernoulli ）不等式
x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 n n n ( 1 + x ) n ≥ 1 + n x (1 + x)^n \geq 1 + nx ( 1 + x ) n ≥ 1 + n x
例：证明 $\displaystyle\sqrt[n]{a} - 1 \leq \frac{a-1}{n} $ （a > 1 a>1 a > 1
证明 ：
令 t = a n − 1 > 0 t = \sqrt[n]{a} - 1 > 0 t = n a − 1 > 0 1 + t = a n 1 + t = \sqrt[n]{a} 1 + t = n a a = ( 1 + t ) n ≥ 1 + n t a = (1 + t)^n \geq 1 + nt a = ( 1 + t ) n ≥ 1 + n t
这里主要补充三个高中没有学过的三角函数：余切、正割、余割。
余切函数 y = cot x y = \cot x y = cot x
正割函数 y = sec x y = \sec x y = sec x
余割函数 y = csc x y = \csc x y = csc x
诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式，共有六组。
公式一 终边相同的角的同一三角函数值相等
sin ( 2 k π + α ) = sin α ( k ∈ Z ) \sin (2k\pi + \alpha) = \sin \alpha (k \in Z) sin ( 2 k π + α ) = sin α ( k ∈ Z )
⋯ \cdots ⋯
公式二 π + α \pi + \alpha π + α α \alpha α
sin ( π + α ) = − sin α \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = − cos α \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha cos ( π + α ) = − cos α tan ( π + α ) = tan α \tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha tan ( π + α ) = tan α cot ( π + α ) = cot α \cot(\pi+\alpha) = \cot \alpha cot ( π + α ) = cot α sec ( π + α ) = − sec α \sec(\pi+\alpha) = -\sec \alpha sec ( π + α ) = − sec α csc ( π + α ) = − csc α \csc(\pi+\alpha) = -\csc\alpha csc ( π + α ) = − csc α
公式三 任意角 α \alpha α − α -\alpha − α
sin ( − α ) = − sin α \sin(-\alpha) = -\sin\alpha sin ( − α ) = − sin α cos ( − α ) = cos α \cos(-\alpha) = \cos\alpha cos ( − α ) = cos α tan ( − α ) = − tan α \tan(-\alpha) = -\tan\alpha tan ( − α ) = − tan α cot ( − α ) = − cot α \cot(-\alpha) = -\cot\alpha cot ( − α ) = − cot α sec ( − α ) = sec α \sec(-\alpha) = \sec\alpha sec ( − α ) = sec α csc ( − α ) = − csc α \csc(-\alpha) = -\csc \alpha csc ( − α ) = − csc α
公式四 利用公式二 和公式三 可以得到 π − α \pi-\alpha π − α α \alpha α
sin ( π − α ) = sin α \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha cos ( π − α ) = − cos α tan ( π − α ) = − tan α \tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha tan ( π − α ) = − tan α cot ( π − α ) = − cot α \cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha cot ( π − α ) = − cot α sec ( π − α ) = − sec α \sec(\pi-\alpha) = -\sec\alpha sec ( π − α ) = − sec α csc ( π − α ) = csc α \csc(\pi-\alpha) = \csc\alpha csc ( π − α ) = csc α
公式五 利用公式一 和公式三可以得到 2 π − α 2\pi-\alpha 2 π − α α \alpha α
sin ( 2 π − α ) = − sin α \sin(2\pi-\alpha) = -\sin\alpha sin ( 2 π − α ) = − sin α cos ( 2 π − α ) = cos α \cos(2\pi-\alpha) = \cos\alpha cos ( 2 π − α ) = cos α tan ( 2 π − α ) = − tan α \tan(2\pi-\alpha) = -\tan\alpha tan ( 2 π − α ) = − tan α cot ( 2 π − α ) = − cot α \cot(2\pi-\alpha) = -\cot\alpha cot ( 2 π − α ) = − cot α sec ( 2 π − α ) = sec α \sec(2\pi-\alpha) = \sec\alpha sec ( 2 π − α ) = sec α csc ( 2 π − α ) = − csc α \csc(2\pi-\alpha) = -\csc\alpha csc ( 2 π − α ) = − csc α
公式六 π 2 ± α \displaystyle \frac \pi 2 \pm \alpha 2 π ± α α \alpha α 3 π 2 ± α \displaystyle\frac {3\pi} 2 \pm \alpha 2 3 π ± α α \alpha α
π 2 + α \displaystyle\frac \pi 2 + \alpha 2 π + α α \alpha α
sin ( π 2 + α ) = cos α \sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos\alpha sin ( 2 π + α ) = cos α cos ( π 2 + α ) = − sin α \cos(\frac \pi 2 + \alpha) = -\sin\alpha cos ( 2 π + α ) = − sin α tan ( π 2 + α ) = − cot α \tan(\frac \pi 2 + \alpha) = -\cot\alpha tan ( 2 π + α ) = − cot α cot ( π 2 + α ) = − tan α \cot(\frac \pi 2 + \alpha) = -\tan\alpha cot ( 2 π + α ) = − tan α sec ( π 2 + α ) = − csc α \sec(\frac \pi 2 + \alpha) = -\csc\alpha sec ( 2 π + α ) = − csc α csc ( π 2 + α ) = sec α \csc(\frac \pi 2 + \alpha) = \sec\alpha csc ( 2 π + α ) = sec α
π 2 − α \displaystyle\frac \pi 2 - \alpha 2 π − α α \alpha α
sin ( π 2 − α ) = cos α \sin(\frac \pi 2 - \alpha) = \cos\alpha sin ( 2 π − α ) = cos α cos ( π 2 − α ) = sin α \cos(\frac \pi 2 - \alpha) = \sin\alpha cos ( 2 π − α ) = sin α tan ( π 2 − α ) = cot α \tan(\frac \pi 2 - \alpha) = \cot\alpha tan ( 2 π − α ) = cot α cot ( π 2 − α ) = tan α \cot(\frac \pi 2 - \alpha) = \tan\alpha cot ( 2 π − α ) = tan α sec ( π 2 − α ) = csc α \sec(\frac \pi 2 - \alpha) = \csc\alpha sec ( 2 π − α ) = csc α csc ( π 2 − α ) = sec α \csc(\frac \pi 2 - \alpha) = \sec\alpha csc ( 2 π − α ) = sec α
3 π 2 + α \displaystyle\frac {3\pi} 2 + \alpha 2 3 π + α α \alpha α
sin ( 3 π 2 + α ) = − cos α \sin(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\cos\alpha sin ( 2 3 π + α ) = − cos α cos ( 3 π 2 + α ) = sin α \cos(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = \sin\alpha cos ( 2 3 π + α ) = sin α tan ( 3 π 2 + α ) = − cot α \tan(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\cot\alpha tan ( 2 3 π + α ) = − cot α cot ( 3 π 2 + α ) = − tan α \cot(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\tan\alpha cot ( 2 3 π + α ) = − tan α sec ( 3 π 2 + α ) = csc α \sec(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = \csc\alpha sec ( 2 3 π + α ) = csc α csc ( 3 π 2 + α ) = − sec α \csc(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\sec\alpha csc ( 2 3 π + α ) = − sec α
3 π 2 − α \displaystyle\frac {3\pi} 2 - \alpha 2 3 π − α α \alpha α
sin ( 3 π 2 − α ) = − cos α \sin(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\cos\alpha sin ( 2 3 π − α ) = − cos α cos ( 3 π 2 − α ) = − sin α \cos(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\sin\alpha cos ( 2 3 π − α ) = − sin α tan ( 3 π 2 − α ) = cot α \tan(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = \cot\alpha tan ( 2 3 π − α ) = cot α cot ( 3 π 2 − α ) = tan α \cot(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = \tan\alpha cot ( 2 3 π − α ) = tan α sec ( 3 π 2 − α ) = − csc α \sec(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\csc\alpha sec ( 2 3 π − α ) = − csc α csc ( 3 π 2 − α ) = − sec α \csc(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\sec\alpha csc ( 2 3 π − α ) = − sec α
这些诱导公式可以概括为：对于k π 2 ± α ( k ∈ Z ) \displaystyle \frac{k\pi}2 \pm \alpha \ (k\in Z) 2 k π ± α ( k ∈ Z )
当 k k k α \alpha α
当 k k k α \alpha α sin → cos \sin \rightarrow \cos sin → cos cos → sin \cos\rightarrow \sin cos → sin tan → cot \tan\rightarrow \cot tan → cot cot → tan \cot\rightarrow \tan cot → tan α \alpha α
a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + arctan b a ) a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(x + \arctan\frac b a\right) a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + arctan a b ) ( a > 0 ) (a > 0) ( a > 0 )
a sin x + b cos x = a 2 + b 2 cos ( x − arctan b a ) a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \cos\left(x - \arctan\frac b a\right) a sin x + b cos x = a 2 + b 2 cos ( x − arctan a b )
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β \displaystyle\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \displaystyle\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β
sin α + sin β = 2 sin ( α + β 2 ) cos ( α − β 2 ) \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) sin α + sin β = 2 sin ( 2 α + β ) cos ( 2 α − β ) $\sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $
$\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $
cos α − cos β = − 2 sin ( α + β 2 ) sin ( α − β 2 ) \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) cos α − cos β = − 2 sin ( 2 α + β ) sin ( 2 α − β )
cos α sin β = 1 2 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ] \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)] cos α sin β = 2 1 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ] $\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] $
cos α cos β = 1 2 [ cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ] \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] cos α cos β = 2 1 [ cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ] sin α sin β = − 1 2 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ] \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)] sin α sin β = − 2 1 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ]
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tan α + cot α \displaystyle\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2}{\tan \alpha+\cot \alpha} sin 2 α = 2 sin α cos α = tan α + cot α 2 $\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha =2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha $
$\displaystyle\tan 2 \alpha =\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} $
$\displaystyle\cot 2 \alpha =\frac{\cot ^{2} \alpha-1}{2 \cot \alpha} $
$\displaystyle\sec 2 \alpha= \frac{\sec ^{2} \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} $
$\displaystyle\csc 2 \alpha= \frac{1}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1}{2} \sec \alpha \csc \alpha $
sin ( α 2 ) = ± 1 − cos α 2 \displaystyle\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} sin ( 2 α ) = ± 2 1 − cos α cos ( α 2 ) = ± 1 + cos α 2 \displaystyle\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} cos ( 2 α ) = ± 2 1 + cos α tan ( α 2 ) = ± 1 − cos α 1 + cos α = sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α = csc α − cot α \displaystyle\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\csc \alpha-\cot \alpha tan ( 2 α ) = ± 1 + cos α 1 − cos α = 1 + cos α sin α = sin α 1 − cos α = csc α − cot α cot ( α 2 ) = ± 1 + cos α 1 − cos α = 1 + cos α sin α = sin α 1 − cos α = csc α + cot α \displaystyle\cot \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}=\csc \alpha+\cot \alpha cot ( 2 α ) = ± 1 − cos α 1 + cos α = sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α = csc α + cot α sec ( α 2 ) = ± 2 sec α sec α + 1 \displaystyle\sec \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \alpha}{\sec \alpha+1}} sec ( 2 α ) = ± sec α + 1 2 sec α csc ( α 2 ) = ± 2 sec α sec α − 1 \displaystyle\csc \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2 \sec \alpha}{\sec \alpha-1}} csc ( 2 α ) = ± sec α − 1 2 sec α
sin α = 2 tan α 2 1 + tan 2 a 2 \displaystyle\sin\alpha = \frac {2\tan\frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac a 2} sin α = 1 + tan 2 2 a 2 tan 2 α cos α = 1 − tan 2 α 2 1 + tan 2 a 2 \displaystyle\cos\alpha = \frac {1-\tan^2\frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac a 2} cos α = 1 + tan 2 2 a 1 − tan 2 2 α tan α = 2 tan α 2 1 − tan 2 a 2 \displaystyle\tan\alpha = \frac {2\tan\frac \alpha 2}{1 - \tan^2 \frac a 2} tan α = 1 − tan 2 2 a 2 tan 2 α
sin 2 α = 1 2 ( 1 − cos 2 α ) \sin^2\alpha = \frac 1 2(1 - \cos2\alpha) sin 2 α = 2 1 ( 1 − cos 2 α ) cos 2 α = 1 2 ( 1 + cos 2 α ) \cos^2\alpha = \frac 1 2(1 + \cos2\alpha) cos 2 α = 2 1 ( 1 + cos 2 α ) tan 2 α = 1 − cos 2 α 1 + cos 2 α \displaystyle\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{1+\cos 2\alpha} tan 2 α = 1 + cos 2 α 1 − cos 2 α
在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即 a sin A = b sin B = c sin C \displaystyle\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} sin A a = sin B b = sin C c R R R
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
有：
$a{2}=b {2}+c^{2}-2 b c \cos A $
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C
每个角：
cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2
cos B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c} cos B = 2 a c a 2 + c 2 − b 2
cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} cos C = 2 a b a 2 + b 2 − c 2
加法原理和分类计数法
乘法原理和分步计数法
从 n n n m ( m ≤ n ) m(m\leq n) m ( m ≤ n ) n n n m m m 排列 （arrangement）。
从 n n n m ( m ≤ n ) m(m\leq n) m ( m ≤ n ) n n n m m m 排列数 ，用符号 A ( m , n ) A(m,n) A ( m , n ) A n m A_n^m A n m
A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … ( n − m + 1 ) ⏟ m 个 因 子 = n ! ( n − m ) ! \displaystyle A^m_n = \underbrace{n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)}_{m 个因子} = \frac{n!}{(n-m)!} A n m = m 个 因 子 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … ( n − m + 1 ) = ( n − m ) ! n !
从 n n n m ( m ≤ n ) m(m\leq n) m ( m ≤ n ) n n n m m m 组合 （combination）。
从 n n n m ( m ≤ n ) m(m\leq n) m ( m ≤ n ) n n n m m m 排列数 ，用符号 C ( m , n ) C(m,n) C ( m , n ) C n m C_n^m C n m
C n m = A n m m ! = n ! m ! ( n − m ) ! \displaystyle C^m_n = \frac {A^m_n} {m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} C n m = m ! A n m = m ! ( n − m ) ! n !
对于 n ∈ N ∗ n \in \mathbf{N}^{*} n ∈ N ∗
( a + b ) n = ∑ r = 0 n C n r a n − r b r = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + ⋯ + C n r a n − r b r + ⋯ + C n n b n \displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+\cdots+C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}+\cdots+C_{n}^{n} b^{n} ( a + b ) n = r = 0 ∑ n C n r a n − r b r = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + ⋯ + C n r a n − r b r + ⋯ + C n n b n
这就是二项式定理。等式右边即为 ( a + b ) n (a+b)^{n} ( a + b ) n n + 1 n+1 n + 1
C n r a n − r b r C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r} C n r a n − r b r r + 1 r+1 r + 1 通项 ，用 T r + 1 T_{r+1} T r + 1 T r + 1 = C n r a n − r b r T_{r+1}=C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r} T r + 1 = C n r a n − r b r C n r ( r = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) C_{n}^{r} \quad(r=0,1,2, \cdots, n) C n r ( r = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) r + 1 r+1 r + 1 二项式系数 。
（来源于 【高中数学基础课】二项式定理 - 知乎 ）
设 E E E ∃ E ∈ R \exists E \in R ∃ E ∈ R
E E E 有界 的：∃ M > 0 , ∀ x ∈ E : ∣ x ∣ ≤ M \exists M >0, \forall x \in E: |x| \leq M ∃ M > 0 , ∀ x ∈ E : ∣ x ∣ ≤ M
E E E ∃ β ∈ R \exists \beta \in R ∃ β ∈ R
∀ x ∈ E \forall x \in E ∀ x ∈ E x ≤ β x \leq \beta x ≤ β ∀ δ > 0 ， ∃ x δ : x δ > β − δ \forall \delta > 0，\exists x_\delta : x_\delta > \beta - \delta ∀ δ > 0 ， ∃ x δ : x δ > β − δ
称 β \beta β E E E 上确界 。
确界存在定理指的是，如果一个集合有上界，则必存在上确界。
确界存在定理又称之为实数系连续性定理。若实数系不连续，则在数轴上会有一段间隙，有间隙即存在长度 l l l ε < l \varepsilon\lt l ε < l ∄ x ∈ S , x > β − ε \nexists x\in S,x\gt \beta-\varepsilon ∄ x ∈ S , x > β − ε
（来源于 确界存在定理（实数系连续性定理） - 简书 ）