高等数学3 极限与连续

数列

定义域为 $N$ 的函数 $x_n = f(n), n \in N_+$，写作 $x_1, x_2,\dots,x_n,\dots$ 或 $\{x_n\}$。一般讨论数列的单调性、有界性。

例：试证以下数列单调增加且有界：（p4 数列的极限1）

1. $x_n = \sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt2}}$ （$n$ 重根号）
2. $x_n = \sqrt{a + \sqrt{a+\dots+\sqrt a}}$ （$n$ 重根号，$a > 0$）

数列 ${x_n}$ 中的无穷项，它们下标依次为 $n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots$，则称数列 $x_{n_1},x_{n_2},\dots,x_{n_k},\dots$ 为 $\{x_n\}$ 的子列，记为 $\{x_{n_k}\}$。

数列的极限

1. $x_n = \frac 1 n$
2. $x_n = \frac{(-1)^n}n$
3. $x_n = \frac{1+(-1)^n}{2n}$

数列的变化趋势：无限地接近零，与零的距离任意小。

对 ${x_n}$，$\exists A \in R, \forall \epsilon >0, \exists N \in \textbf{N}_+$：
当 $n > N$ 时，$| x_n - A | < \epsilon$。则称 $A$ 为 $\{x_n\}$ 的极限，或称 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$，记为：
$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = A$ 或 $x_n \rightarrow A (n \rightarrow \infty)$

1. 若不存在这样的 $A$，则称数列 $\{x_n\}$ 无极限，或发散的。
2. $\epsilon$ 是任意的，但在确定 $N$ 时又是相对固定的； $N$ 依赖 $\epsilon$ ，但不唯一。
3. 无论 $\epsilon$ 多么小。数列从某项 $x_N$ 以后的项都在邻域 $(A - \epsilon, A + \epsilon)$ 内，即在此邻域外只有有限项。

例1：试用定义证明：当 $|q| < 1$时， $\lim_{n\rightarrow\infty} q^n = 0$

例2：$x_n = \frac{n^2}{3n^2-2n+6}$，证明 $\lim_{x\rightarrow \infty}x_n = \frac 1 3$ （适当放大法）

例3：$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1 \quad(a>1)$ （伯努利不等式的一个推论，见笔记0 #不等式。也可以用 $\ln$）

例4：$\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=0$

习题：$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$

无穷小与无穷大

无穷小

若 $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = 0$ ，则称 ${x_n}$ 为无穷小（数列）。例如 $x_{n}=\frac{1}{n}$,$ \quad y_{n}=q^{n} \quad(|q|<1)$ 均为无穷小。

1. $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow\left\{x_{n}-A\right\}$ 为无穷小 $ \Leftrightarrow\left|x_{n}-A\right| $为无穷小

2. $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=0$ （证明）

   无穷小的和（差）是无穷小。

3. $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$, $\left\{y_{n}\right\}$ 有界 $\Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0$

   无穷小与有界量之乘积是无穷小。

   （利用 $y_n \leq M$（有界），证明 $|x_n|\cdot|y_n| < \frac{\epsilon} {|M|}$）

无穷大

对 $\{x_n\}$ ，$\forall M > 0$， $\exists N \in \textbf{N}+$ ：当 $n > N$ 时， $|x_n| > M$， 则称 ${x_n }$ 为无穷大。记为：

$\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = \infty$

1. 试写出 ${x_n}$ 为正无穷大 （$+\infty$） 的定义

2. 无穷大与无穷小的关系

   若 $x_n \neq 0$，则 ${x_n}$ 为无穷大 时， $\{\frac 1 {x_n} \}$ 为无穷 小。

3. 无穷大与无界一样吗？

   数列一定是单调的吗？

   • 考察数列 $1, 0, 2, 0, 3, 0$ 无界，但该数列并不无穷大。
   • $x_n = n \sin \frac{n\pi}{2}$

数列极限的性质和运算法则

性质

• 惟一性

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=B \Rightarrow A=B$

• 有界性

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \exists M>0:\left|x_{n}\right|<M$ $\left(\forall n \in \mathbf{N}_+\right)$

• 保号性

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A>0 \Rightarrow \exists N \in \mathbf{N}_{+}: \forall n>N, x_{n}>\frac{A}{2}$

• 推论（保序性）
  若 $\left\{x_{n}\right\}$, $\exists N \in \mathbf{N}_{+}:$ 当 $n>N$ 时, $x_{n} \geq 0$，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow A \geq 0$

  1. $x_n > y_n$， $\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = A$， $\lim_{x\rightarrow\infty} x_n = B$ $\Rightarrow A \geq B$
  2. 若条件中的 $x_n \geq 0$ 改成 $x_n > 0$，成立？

• 归并性

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_{n_{k}}\right\} \subset\left\{x_{n}\right\}: \lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=A$

  该命题常常用于说明极限不存在，如证明数列 $\{x_n\}$ 不存在极限，只需证明 ${x_n}$ 的奇数项子列 $\{x_{2k-1}\}$ 和 $\{x_{2k}\}$ 的极限不同。同理，有：

  $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{2 k-1}=A \text { 且 } \lim _{k \rightarrow \infty} x_{2 k}=A \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$

  只需证明奇子列和偶子列的极限相同，便能得到原数列的极限。（证明，注意 $N$ 的取值）

运算法则

• 加减法

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B$

• 乘法

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B$
  推论（幕）：
  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}^{m}=A^{m}$

• 除法

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0 \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}$

• 开方运算

  $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[m]{x_{n}}=\sqrt[m]{A}$ $\left(\begin{array}{l} x_{n} \geq 0 \text { 时， } m \in N_{+} \\ x_{n}<0 \text { 时, } m \text { 为奇数 } \end{array}\right)$

例1： $x_{n}=\frac{2 n^{3}-n+4}{3 n^{3}-5 n^{2}+n}$

例2： $x_{n}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}$

例3： $x_{n}=\frac{4^{n}+(-3)^{n}}{4^{n+1}+3^{n+1}}$

例4： $x_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ （分子有理化）

例5：$x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ （裂项相消）

例6：$x_{n}=\frac{\sin n^{2}}{n}$ （$\sin x$ 有界）

例7：$\lim_{n\rightarrow\infty} n (\sqrt{2n^2+1} - \sqrt{2n^2-1})$

可导出

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{0} n^{m}+a_{1} n^{m-1}+\cdots+a_{m}}{b_{0} n^{k}+b_{1} n^{k-1}+\cdots+a_{k}}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a_{0}}{b_{0}} & m=k \\ 0 & m<k \\ \infty & m>k\end{array}\right.$

数列极限存在的判别准则

夹逼准则

若 $\exists N$，当 $n > N$，$y_n \leq x_n \leq z_n$，且 $\lim_{n\rightarrow\infty} y_n = \lim_{n\rightarrow\infty} z_n = A$，可以得到：$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A$ （注意 $A = 0$ 的情况）

例1：求下列数列的极限。

1. $x_{n}=\frac{10^{n}}{n!}$ （判断分子分母的增长速度， $0 < x_n < \frac{10^{10}}{10!} (\frac{10}{11})^{n-10}$）
2. $x_{n}=\sqrt[n]{1^{n}+2^{n}+3^{n}}$ （适当放大）
3. $x_{n}=\sqrt[n]{1^{4}+2^{4}+\cdots+n^{4}}$ （适当放缩）
4. $x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}}\right)$

例2：$x \geq 0, f_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ （分类）

单调有界数列极限存在准则

若数列 $\{x_n\}$ 单调增加且有上界，则 $\{x_n\}$ 有极限。单调递减且有下界的数列同理。

例1：$x_n = \sqrt{2 + \sqrt{2+\dots+\sqrt 2}}$ （$n$重根号）

例2：设 $x_1 > 1$， $x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n + 1}$ （$n \geq 2$），证明 $\{x_n\}$有极限，并求之。

函数极限

1. $x\rightarrow +\infty$ 的情况

   设 $f(x)$ 定义在 $[a, +\infty), \exists A \in \textbf{R},\forall \epsilon > 0$。$\exists X > a$，当 $x > X$，有
   $|f(x) - A| < \epsilon$

   称当 $x$ 趋于正无穷时，$f(x)$ 的极限为 $A$，或收敛于 $A$。记为 $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x) = A\quad或\quad f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow+\infty)$

例：证明 $\lim_{x\rightarrow+\infty} \arctan x = \frac \pi 2$

2. $x\rightarrow\infty$ 的情况

   设 $f(x)$ 定义在 $|x| > a, \exists A \in \textbf{R},\forall \epsilon > 0$。$\exists X > a$，当 $|x| > X$，有 $|f(x) - A| < \epsilon$
   称当 $x$ 趋于无穷时，$f(x)$ 的极限为 $A$，或收敛于 $A$。记为 $ \lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A$ 或 $f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow\infty)$

3. $x\rightarrow a$ 的情况

   设 $f(X)$ 定义在 $a$ 的去心邻域，若存在实数 $A$，$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$， 当 $0 < |x-a| < \delta$ 时，
   $|f(x) - A| < \epsilon$
   称当 $x$ 趋于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限为 $A$， 或收敛于 $A$。记为
   $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A\quad或\quad f(x)\rightarrow A,(x\rightarrow a)$，
   此极限与 $f(x)$ 在 $a$ 点定义无关，也与邻域外的值无关。

$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) = A 且 \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) = A$

例1：证明 $\lim_{x\rightarrow 1} \ln x = 0$

证明：$\forall \epsilon > 0$， 要 $|\ln x - 0 | < \epsilon$，即 $-\epsilon < \ln x < \epsilon$

也就是 $e^{-\epsilon} < x < e^\epsilon \Leftrightarrow e^{-\epsilon} - 1 < x - 1 < e^{\epsilon} - 1$

取 $\delta = \min (e^\epsilon - 1, 1 - e^{-\epsilon})$ ①

当 $0 < |x-1| < \delta$，有 $|\ln x - 0| < \epsilon$

$\therefore \lim_{x\rightarrow 1} \ln x = 0$

①： 可以判断出 $e^\epsilon - 1$ 的绝对值较大。因为 $|e^{-\epsilon} - 1| \cdot e^\epsilon = |e^\epsilon - 1|$，而 $e^\epsilon > 0$。

例2：证明 $\lim_{x\rightarrow2}\frac{2}{x^2+x} = \frac 1 3$ （演示）

证明：$\forall \epsilon > 0$，要 $|\frac2 {x^2+x} - \frac1 3| = |\frac{x^2+x-6}{3(x^2+x)}| < \epsilon$

由于 $|\frac{x^2+x-6}{3(x^2+x)}| \overset{|x-2|<1}{<} \frac{|x-2|\cdot|x+3|}{3(1+1)}<\frac{6(x-2)}{6} = |x-2|$

只要取 $\delta = \min (\epsilon, 1)$，当 $0 < |x-2| < \delta$ 时，就有 $|\frac{2}{x^2+x} - \frac 1 3 | < \epsilon$

$\therefore \lim_{x\rightarrow 2} \frac{2}{x^2+x} = \frac{1}{3}$

无穷小与无穷大

• 若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=0,$ 则称当 $x \rightarrow a$ 时， $f(x)$ 为无穷小。可记为 $f(x)=o(1) \quad(x \rightarrow a)$

  显然有 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A \quad \Leftrightarrow \quad f(x)-A$ 为无穷小

• 设 $f(x)$ 定义在 $U(a), \forall M>0, \exists \delta>0,$ 当 $0<|x-a|<\delta$，$|f(x)|>M$

  则称当 $x \rightarrow a$ 时, $f(x)$ 为无穷大, 记 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty$

函数极限与数列极限的关系

海涅（Heine）定理

$\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \{x_n\}, x_n \rightarrow a$，则 $\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = A$

性质

• 唯一性

  $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = A, \lim_{x\rightarrow a}f(x) = B \Rightarrow A=B$

• 局部有界性

  $\lim_{x\rightarrow a} f(x) = A \Rightarrow \exists \delta>0, M>0: |f(x)| \leq M, (x \in \mathring{U}(a, \delta))$

• 局部保号性

• 保序性

运算法则

若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B, h(x)$ 有界，则

• $\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B$
• $\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)=A B$
• $\lim _{x \rightarrow a} f^{m}(x)=A^{m}$
  $\lim _{x \rightarrow a} f(x) h(x)=0 (A=0)$
• $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} \quad(B \neq 0)$
• $\lim _{x \rightarrow a} \sqrt[m]{f(x)}=\sqrt[m]{A} \quad\left(\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \text { 时, } m \in \boldsymbol{N}_{+} \\ f(x) \leq 0 \text { 时, } m \text { 取奇数 }\end{array}\right)$

例：求极限 $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+3} -\sqrt{2x+2}}{x^2-1}$

复合运算法则

$\lim_{u\rightarrow l} f(u) = A, \lim_{x\rightarrow a} \varphi(x) = l, \varphi(x) \neq l (x \in \mathring{U}(a)) \Rightarrow \lim_{x\rightarrow a} f(\varphi(x)) = A$

复合运算法则意味着，$\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)=l, \varphi(x) \neq l(x \in U(a))$ 时， $\lim _{x \rightarrow a} f(\varphi(x)) \stackrel{u=\varphi(x)}{=} \lim _{u \rightarrow l} f(u)$

例：$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\ln x$ $(a > 0)$ （可用 $\ln x = \ln\frac{x}{a} + \ln a$）

例：求 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \cos \frac a 2 \cos \frac a {2^2} \dots \cos \frac a {2^n}$（PPT 2.4.4 p23）

极限存在判别法

• 夹逼准则

  在 $U(a)$ 内 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=A$

  则推出 $\lim_{x\rightarrow a} f(x) = A$

• 在 $(a - \delta, a)$ 内， $f(x)$ 单调有界，则 $f(x)$ 在 $a$ 点的左极限 $\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$ 存在。 a 点右侧也有类似的结论。

  例1：求证： $\lim_{a\rightarrow 0}a^x = 1$ （$a>1$）

  例2：求 $\lim_{x\rightarrow x_0}a^x$

  解：原式 $\xlongequal{u=x-x_0} \lim_{u\rightarrow 0}a^{u}\cdot a^{x_0}=1\cdot a^{x_0} = a^{x_0}$

  例3：求 $\lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{2^x + 3^x}{5})^{\frac 1 x}$ （采用放缩的办法，求得值为 0）

两个重要极限

• 第一重要极限 $\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin x}{x} = 1$

  例：求 $\lim_{n\rightarrow\infty}2^n \sin\frac{x}{2^n}$

• 第二重要极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}$ ，这里 $n$ 可以趋向于 正负无穷方向。

  例1：证明 $y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ 单调递减（不证）

  例2：

  1. $x_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$，试证 $\left\{x_{n}\right\}$ 有极限

     （不是单调数列 ，考虑子列 ）

  2. 考虑 $x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ 是否有极限

无穷小的比较

设 $\displaystyle lim_{x\rightarrow a} \alpha (x) = 0$, $\lim_{x\rightarrow a}\beta(x) = 0$，且 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta(x)}{\alpha x} = l$：

• 当 $l = 0$ 时，称 $x\rightarrow a$ 时 $\beta (x)$ 是比 $\alpha (x)$ 高阶的 无穷小

  记为 $\beta(x) = o(\alpha(x)), x\rightarrow a$

• 当 $l \neq 0$ 时，称 $x\rightarrow a$ 时 $\beta (x)$ 是比 $\alpha (x)$ 同阶的 无穷小

  特别是，当 $l = 1$ 时，称 $x\rightarrow a$ 时$\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 等价的无穷小，

  记为 $\beta(x) \sim \alpha(x), x\rightarrow a$

命题 $\alpha(x) \sim \beta(x)\quad\Leftrightarrow\quad\alpha(x)-\beta(x) = o(\alpha(x))$ ，两个无穷小等价意味着他们只相差一个高阶无穷小。

k阶无穷小 设 $\lim_{x\rightarrow a}\alpha(x) = \lim_{x\rightarrow a}\beta(x) = 0$，且 $\exists C \neq 0, k > 0$， $\beta(x) \sim C \alpha^k(x), (x\rightarrow \alpha)$ 则称当 $x\rightarrow a$ 时， $\beta(x)$ 是$\alpha (x)$ 的 $k$ 阶无穷小， $C\alpha^k (x)$ 称为 $\beta(x)$ 的主部。

常见等价无穷小

当 $x\rightarrow 0$ 时，

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac 1 2 x^2$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x$
• $(x - \sin x) \sim (\arcsin x - x) \sim \frac {x^3}{6}$ （由 $\sin x = x - \frac {x^3}{3!} + o(x^3)$ 得来）
• $(\tan x - x) \sim (x - \arctan x) \sim \frac 1 3 x^3$ （附录 常见函数的级数展开及推导）
• $(\tan x - \sin x) \sim \frac 1 2 x^3$
• $x - \ln (1+x) \sim \frac 1 2 x^2$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$

后两个其实是前两个函数的反函数。

例1：求 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

解：原式 = $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x (1-\cos x)}{\cos x \cdot x^3} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cdot \frac 1 2 x^2}{x^3}=\frac 1 3$

这一题不能用等价无穷小。分子中换成 $x$ 只是等价无穷小中的主要部分。相减后更高阶的部分起作用。

例2： $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的 $k$ 阶无穷小，又有 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\sin 2 x}\right)}{3^{x}-1}=5$

试求 $k$，且求 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{k}}$

连续

证明

1. 数列极限的加减运算法则

   已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B$， 证明 $lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=A \pm B$

   证明：

   证明原式，即证明 $\lim_{n\rightarrow\infty} [(x_n + y_n) - (A+B)] = \lim_{n\rightarrow\infty}[(x_n-A) + (y_n-B)] = 0$

   由 $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = A \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (x_n-A) = 0$，$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = B \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (x_n-B) = 0$

   又因为无穷小之和是无穷小，原命题得证。

2. 数列极限的乘法运算法则

   已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B$，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=A B$，

   证明：

   即证 $\lim_{n\rightarrow\infty} (x_ny_n - AB) = 0$

   由 $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A$，$\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n - A) = 0$， 故 $\{x_n\}$ 有界。同理，$\{y_n\}$ 有界。

   $\lim_{n\rightarrow\infty} (x_ny_n - AB) = \lim_{n\rightarrow\infty} [(x_n-A)y_n + A(y_n - B)] = 0$，原命题得证。

3. 数列极限的除法运算法则

   已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y_{n}=B \neq 0$， 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{A}{B}$

   证明：

   即证 $\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{x_n}{y_n} - \frac A B) = 0$

   由 $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A$，得 $\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n - A) = 0$

   $\lim_{n\rightarrow\infty} y_n = B \neq 0 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} (y_n - B) = 0$，且由保号性，$\exists N$，当 $n > N$ 时，$|y_n| > \frac{|B|}2$ ，$\frac 1{|y_n|} < \frac{2}{|B|}$ 有界。

   $\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{x_n}{y_n} - \frac A B) = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{Bx_n-Ay_n}{B y_n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{B(x_n-A) - A(y_n - B)}{By_n} = 0$

4. 第一重要极限

   先证明，当 $0 < |x| < \frac \pi 2$ 时， $\cos x < \frac {\sin x}{x} < 1$

   证明：

   画单位圆和三角形：

   

   有 $\displaystyle S_{\triangle AOC} > S_{扇形 AOB} > S_{\triangle AOB}$，即 $\frac 1 2 \tan x > \frac 1 2 x > \frac 1 2 \sin x$， $\sec x > \frac x {\sin x} > 1$，变为倒数得到 $\cos x < \frac{\sin x} x < 1 $，得证。

   由夹逼定理，原命题也易证。

5. 第二重要极限

   证明：

   对于数列 $\{x_n\}$， $x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ （典型方法）

   $x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+C_{n}^{1} \cdot \frac{1}{n}+C_{n}^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}+C_{n}^{3} \cdot \frac{1}{n^{3}}+\cdots+C_{n}^{n} \cdot \frac{1}{n^{n}}$
   $=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)$

   由于：

   1. 与 $x_{n+1}$ 比较，导出单调增加
   2. 适当放大，导出有界性

   故极限存在，求得 $e$。下求 $\lim_{x\rightarrow \infty} (1 + \frac 1 x)^x = e$：

   记 $n = [x]$， 当 $x > 1$ 时有 $n \leq x < n + 1$。则有

   $(1 + \frac 1 {n+1})^n < (1+\frac 1 {n + 1})^x < (1 + \frac 1 x)^n < (1 + \frac 1 x)^x \leq (1 + \frac 1 n )^ x < (1 + \frac 1 n)^{n+1}$。左式 = 右式 = $e$。

   当 $x \rightarrow -\infty$ 时，令 $y = -x$ 代换即可。

   得证。