Coding 的痕迹

微分中值定理

Fermat 定理

极值 若在点 $x_{0}$ 的邻域, 有 $f(x) \leq f(x_{0})$，称 $f\left(x_{0}\right)$ 是 $f(x)$ 的一个极大值, 称 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的一个极大值点 （类似地有极小值的概念）

定理 若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值, 且 $x_{0}$ 可导, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right) = 0$。

原以为蓝桥杯省赛最高也就省二，没想到进了省一。不过因为是 B 组，不然真以为组委会把我名字放前边儿去了… 因为没有很多时间去写算法题，自己的水平也不高，在被通知进国赛时，犹豫了一段时间。后来问了问初、高中同学，还有家里人的意见，交了报名费决定去看一看、见识一下吧，心里还是很希望拿奖回本的 😄

算法的学习急不来。考前找了一下往年的试题，感觉不是我的水平能应付的——想了想也是，考虑到进国赛同学的水平，组委会也就没有必要出简单题了，便没怎么复习，挑选着看了看 bilibili 上蓝桥杯的复习课，想着在考场上碰碰运气、啃啃老本。

前天的时候参加了今年的蓝桥杯比赛，报了 C++ B组。比完之后有些忙，到现在虽然过去两天了，还是想写写自己的感受。

方程组的几何解释

矩阵的发明是为了用一种简洁的方式表达线性方程组。对于一个方程组，如 $$\left{\begin{align*}2x - y = 0\ -x + 2y = 3\end{align*}\right.$$ ，可以写成矩阵和未知量相乘（$$ A \mathbf x = \mathbf b $$）的形式：

$\begin{bmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 3 \end{bmatrix}$

矩阵分为行（row）和列（column）。

对于这个矩阵，可以画出它的行图像（Row picture）：

背景

想将校园网上的文章、通知和附件缓存到本地，通过数据库的全文检索查找其中内容，并决定使用 PostgreSQL 来实现。略检索了一下有关资料，主要有 pg_jieba 和 zhparser 两个中文分词库。这里我们就是用 zhparser。

前期爬取了网上的一些文章，并存储到 PostgreSQL 中。但是当时用以提取发布日期的方法不太好，提取成功率很低。幸好观察存储的 URL，似乎其中包含了发布日期。格式大概是：

1
2
3

'/2020/0909/random_numbers/page.htm'
# 或
'/_t147/2020/0909/random_numbers/page.htm'

便想到在 PostgreSQL 中调用 Python 实现日期提取。

导数的概念

例： 若 $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = 0$，能否推出 $f'(x_0)$ ？

考虑函数 $f(x) = |x|$， 当 $x = x_0 = 0$ 时，$f'(x) = 0$

但该点左右极限不相等，$|x|$ 在 $0$ 处不可导，所以不能推出。（p20 24:00)

命题 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\Leftrightarrow$ $f_-'(x_0) = f_+'(x_0)$

数列

定义域为 $N$ 的函数 $x_n = f(n), n \in N_+$，写作 $x_1, x_2,\dots,x_n,\dots$ 或 $\{x_n\}$。一般讨论数列的单调性、有界性。

例：试证以下数列单调增加且有界：（p4 数列的极限1）

1. $x_n = \sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt2}}$ （$n$ 重根号）
2. $x_n = \sqrt{a + \sqrt{a+\dots+\sqrt a}}$ （$n$ 重根号，$a > 0$）

数列 ${x_n}$ 中的无穷项，它们下标依次为 $n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots$，则称数列 $x_{n_1},x_{n_2},\dots,x_{n_k},\dots$ 为 $\{x_n\}$ 的子列，记为 $\{x_{n_k}\}$。

本篇主要是高中知识的复习与补充。大部分内容来源于乐经良教授主讲《高等数学》的“实数集”一课，此外也收录了笔者在后续课程中发现自身的缺失之处，以及常用的高中知识点。

集合

具有某种属性的事物的全体称为集合。元素用小写字母（如 $a$）表示，集合用大写字母（如 $A$）表示。 $a$ 是 $A$ 的元素： $a \in A$； $a$ 不是 $A$ 的元素： $a \notin A$。

集合具有确定性、互异性、无序性。

$x$, $y$ 为两个变量 $(x \in D)$. 对任意的 $x \in D$，总存在唯一确定的 $y$ 与 $x$ 对应，称 $y$ 为 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$.

函数在 $D$ 上 $x_0$ 对应的 $f(x_0)$ 称为函数在 $x_0$ 的值，有时记为 $f|_{x_0}$。

常见的函数

符号函数

$y = sgn\ x = \left\{ \begin{aligned} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x > 0 \end{aligned} \right.$